数列与不等式解题技巧：运用构造法证明数列型不等式的几种思路
数列与不等式解题技巧：运用构造法证明数列型不等式的几种思路所以数列为递增数列。因为n是大于1的正整数。因为。证明：构造数列。
证明与自然数n有关的不等式的常规思路是数学归纳法或放缩法，但数学归纳法的证明过程比较繁琐，而放缩法的技巧性很强，难度较大。如果抛开定势思维，根据命题的具体结构与特点，构造数列来证明，可使证明过程思路清晰、可操作性强、简捷明快。本文谈谈运用构造法证明数列型不等式的几种思路。
一、直接法
视不等式的左边为一个整体，直接考查不等式左边对应的数列的单调性，达到证明的目的。
例1. 证明对于一切大于1的正整数n，有
。
证明：构造数列
。
因为
所以数列为递增数列。因为n是大于1的正整数。
所以
二、作差法
欲证
例2. 证明对于一切正整数n，有
。
证明：令
。
则
所以数列
例3. 已知
证明：令
，
所以
三、作商法
若
例4. 证明对于一切正整数n，有
。
证明：设
，则
。
即数列是递增数列。所以
例5. 当
证明：设
所以数列
例6. 已知i、m、n是正整数，且
证明：构造数列
，则
。
所以数列
四、差分法
对于“
例7. 证明对于一切正整数n，有
。
证明：记数列的前n项的和为
当时，
。
又
五、商分法
对于“
例8. 证明对于一切大于1的正整数n，有
。
证明：原不等式即
记数列的前n项的积为
当时，
，
欲证
例9. （同前例4）
证明：原不等式即
。
记数列的前n项的积为
当
因为
又
可见数列的每一项均小于数列
的相应项，所以小于数列的前n项积。故原不等式成立。
五、变换结论法
将结论适当变形，使不等式两边为“和”型或“积”型结构，然后依此利用“差分法”或“商分法”构造数列，巧妙地解决原问题。
例10. 证明对于一切正整数n，有
证明：要证，即证
即证
记数列的前n项的和为
下面只需证明
当
当时，
综上，原不等式成立。
例11. 求证：
证明：要证
因为
构造数列
又
所以
所以
例12. 求证：
证明：从特殊值2007、2008难以入手，考虑更一般的情况：
要证
即可。
因为
。
构造数列
当
当
。
故当
综上，（*）式成立，故原不等式成立。
六、对偶法
根据已知不等式的结构，给原“数列”（不等式的一端）匹配一个与之对偶的数列，然后一起参与运算，从而使问题获得圆满解决。
例13. （同前例8）
证明：原不等式即。
记
构造数列
。
则
。
小结：本题利用了整数的分类中奇数与偶数的对称性构造对偶式。例4可仿本题完成。
例14. 设
证明：记
小结：本题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式。
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▍ 编辑：Wulibang（ID：2820092099）
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