定比点差的书写公式（定比点差法及其应用）
定比点差的书写公式（定比点差法及其应用）当上，称为内分点；定比分点．当时，点在线段
一、定比分点
若
，则称点为点
、的
定比分点．
当
时，点在线段
上，称为内分点；
当
（
）时，点在线段的延长线上，称为外分点．
定比分点坐标公式：若点，，，则点的坐标为
二、点差法
点差法其实可以看作是方程的相减，是对方程的一个巧妙的处理。
若点在有心二次曲线
上，则有
两式作差得
此即有心二次曲线的垂径定理，可以解决与弦的中点相关的问题．
1、弦的中点
点差法一个妙用：
例1 已知椭圆 ，直线 交椭圆于 两点， 为 的中点，求证： 为定值。
分析 用常规方法设直线也可以解决，但是计算就很繁杂，在这里使用点差法。
解 设 ， ，
在椭圆上： ，
作差得：
即： ，
因为
所以 ，为定值。
以上结论与弦的中点有关，也称为垂径定理。
考虑当椭圆为圆的时候， ，则 ， ，正好也符合圆的“垂径定理”。
在双曲线中 同样有类似的结论，但定值为 ，在这里就不再推导了。
2、弦上的定比分点
当弦上的点不再是中点时，就成了定比分点：
设 ， ， ，则 点坐标可以表示为：
，
证明 设 ， ，化简可得：
，同理
这时候就出现了 这样形式的式子。
如果再凑出 ，可能大家就会有点感觉了：
可以将椭圆的方程乘上一个 再作差，得到这样的式子。
因此我们想到了“定比点差法”这样的技巧。
例2 已知椭圆 ， 在椭圆外，过 作直线 交椭圆于 两点， 在线段 上且满足： ，求证：点 在定直线上。
分析 按照以上思路，要出现 和 这样的式子，很容易想到设 的坐标，再表示出 的坐标。
解 设 ， ， ，
则 ，结合图形得：
则 ，
在椭圆上： ①， ②
得：
即
，所以 在定直线 上。
下面介绍定比点差法：
若点在有心二次曲线上，则有
两式作差得
这样就得到了
例7、过异于原点的点
引椭圆
的割线，其中点在椭圆上，点是割线上异于的一点，且满足
．求证：点在直线
上．
证明：直接运用定比点差法即可．
设，则有
，设
，则有
又因为点在椭圆上，所以有
两式作差得
两边同除以
，即可得到
命题得证．
例8、已知椭圆
，过定点
的直线与椭圆交于两点（可以重合），求
的取值范围．
解析：设，，则
．
于是
，于是
又因为点在椭圆上，所以有
两式相减得
将(1)代入(2)中得到
由(1)(3)解得
从而解得的取值范围为
，于是的取值范围为
．
例9、设
、
为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，直线
分别交椭圆于异于的点、，若
，
，求证：
．
证明：设，，，则
于是有
又由点
在椭圆上得到
两式相减得
从而有
结合(4)式可解得
同理可得
结合(5)式得到
于是有
整理得，命题得证．
例10、已知椭圆
，点
，过点作椭圆的割线，
为关于
轴的对称点．求证：直线
恒过定点．
解析：因为
三点共线，
三点也共线，且
三点都在椭圆上，我们用定比点差法去解决这个问题．
设，，则
，设与轴的交点为
，，
，则
于是有
由点
在椭圆上得
两式相减得
将(2)代入(3)得
