希腊三大几何难题图解（古希腊三大难题与方程的根式解）
希腊三大几何难题图解（古希腊三大难题与方程的根式解）域，是可以进行加减乘除的最小集合。在环的基础上添上消去律，就派生出了：域。它可以符合交换律，也可以不符合。符合交换律时，通常叫“加法”。在群的基础上添上加法和分配律，就派生出了：环。
200年前，当伽罗瓦从结合律、交换律、分配律、消去律的角度去看待方程的求解时，扭在一起的加减乘除和开方运算，就被拆开了。
这件事的经验就是：如果一个问题非常复杂，很多不同的因素纠结在一起，那么它一定是分得层次和模块不够细。
伽罗瓦把结合律、单位元、逆元作为群的3个要素，而群是个只含有1个运算符的集合：这个运算符通常叫做“乘法”。
它可以是广义的，也可以是狭义的（数的乘法）。
它可以符合交换律，也可以不符合。
符合交换律时，通常叫“加法”。
在群的基础上添上加法和分配律，就派生出了：环。
在环的基础上添上消去律，就派生出了：域。
域，是可以进行加减乘除的最小集合。
减法和除法可以进一步用加法和乘法的逆元来表达，然后只剩下了2种运算。
所以，运算都是线性的，非线性的是域里的元素。
然后，伽罗瓦就把开方引起的动态变化，转化成了域的子域之间的静态特征。
1，域的根式扩张，
开方运算，用域的根式扩张来表达。
加减乘数是线性运算，但乘方、开方不是线性的。
非线性的运算，会把信息在低维上扭在一起，让它们没法线性可分，而只能在更高的维度上分开。
例如，x^2 1在有理数Q上是没法因式分解的，因为Q上没有-1的平方根i。
但它在复数C上是可以分解成(x i)(x - i)的，这就是非线性运算的升维作用。
同样，x^2 - 2在Q上也是没法分解的，它的分解需要添加一个无理数：
通过不断地往Q上添加方根以扩大数的维度，叫域的扩张。
它实际上形成了一个Q上的向量空间：大多数情况下，方根之间是不一样的，只能当成线性无关的基：
扩张之后的域F在Q上的维数，叫做扩张的次数：写成[F:Q]。
给有理数Q添加一个获得的F就是2维的，[F:Q] = 2。
2的平方根，可以尺规做图
连续添加2个根进去，就形成了扩张的2层塔：
这个扩张链还可以继续延长：根的个数越多，这个链越长。
在2层的情况下，它们的次数符合：[F:Q] = [F:F1] [F1:Q].
F到Q的次数，等于F到F1的次数、与F1到Q的次数的乘积。
在Q的基础上先添一个获得F1，再添一个获得F，次数[F:Q] = 4：
因为向量空间的基是是4维的，不是3维的。
这2次添加，每次把“维数”增大2。
2，伽罗瓦对应，
当把方程的根通过扩张添加进去之后，求根问题就变成了扩张之后的域跟有理数域之间的对应关系。
扩张之后的域，叫多项式的分裂域，用F表示。
F跟Q之间的对应关系，决定了方程有没有求根公式。
之前的文章说过，群里的元素可以是数字，也可以是对应关系。
抽象代数，抽的就是把“函数”也当作群的元素，把函数之间的合成也当成“群的乘法”。
所以，F跟Q之间的对应关系也是一个群，叫伽罗瓦群：Gal F/Q。
域F和Q之间的对应关系
伽罗瓦群Gal F/Q的作用是，把之前属于Q的元素保持不变，但把因为扩张而形成的新元素进行变换：
Gal F/Q = { g(a) = a a属于Q }.
如果F到Q不是一次扩张形成的，每次扩张形成的中间域也可以定义类似的群：
Gal F/Q，
Gal F/Q1
Gal Q1/Q，etc.
伽罗瓦发现了扩张链的各个子域，跟子域之间的伽罗瓦群的对应关系，叫伽罗瓦对应。
也就是说，多个子域组成的集合{Q1 Q2 Q3}，与它们的伽罗瓦群组成的集合{G1 G2 G3}之间是一一对应的。
例如：G1 --> Q3 G2 --> Q3 G3 --> Q1。
最后对应到伽罗瓦群G = Gal F/P的单位元e，即保持集合里的元素不变，e(a)=a.
伽罗瓦对应里，域之间的包含关系跟群之间的包含关系，是反着的。
G = Gal F/Q，F和Q之间的元素差别最大，需要的变换最多，因为他俩之间差的方程的根最多[呲牙]
F和F3之间就差了1个根，所以Gal F/F3里的变换最少，所以它被Gal F/Q包含。
3，多项式方程的根式解，
扩张链上的多个域之间能不能通过加减乘除运算反回去，是非常难判断的：因为域里有2种运算，可以产生很多的线性组合。
但是，对应链上的多个群之间能不能反回去，就比较好判断了：群里只有1种运算。
如果这个链是群G的正规子群组成的可解链的话，那么就是可以反回去的。
因为群的单位元e与其他元素之间是符合交换律的！
只要能变换到单位元e，就可以接着往下变换到任何的其他元素：
有的群是可解的，有的是不可解的。
但是，群的可解与方程的可根式解之间，互为充要条件。
所以伽罗瓦的结论里用了这4个字：当且仅当。
伽罗瓦定理：多项式方程的根式可解，当且仅当它的伽罗瓦群可解。
5次方程对应的那个S5对称群，正好是不可解的。
4，古希腊三大难题，
“画圆为方、三等分角、倍立方”，是古希腊的数学家们留下的3个几何难题。
古希腊的数学家好研究几何，我国古代的数学家好研究方程。
所以，我国古代数学家留下了中国剩余定理，倒是没留下什么难题[捂脸]
1) 画圆为方：用直尺和圆规做一个正方形，让它的面积等于一个已知的圆。
可以让圆的半径为1，圆的面积就是，需要做的正方形的边长就是
画圆为方
因为是超越数，要从有理数Q开始通过添加方程的根来获得的话，需要的维数是无穷的，所以做不出来。
2) 倍立方，
x^3 - 2 = 0，相当于做2的3次方根
但是，它是个3次方程，添加了它的根之后形成的分裂域F在Q上是3维向量空间，但尺规作图每次只能做出2维的[捂脸]
[F:Q] = 3的做不出来。
[F:Q] = 2的可以，[F:Q] = 4的也可以，总之每次只能扩张2。
3) 三等分角，
60度角三等分之后是20度，它的多项式也是3次方程。
用u = cosA换元之后是：4u^3 - 3u = 1/2 如果a = 20度。
进一步化简为：8u^3 - 6u - 1 = 0，
再用x = 2u换元：x^3 - 3x - 1 = 0.
它也是3次方程，而且没法因式分解了。
所以它的扩张[F:Q]也是3维的，没法做出来。
但是，正17边形是可以做出来的，因为x^17 - 1 = 0的扩张[F:Q] = 16，正好是2的幂！
高斯当年已经研究出了正17边形的尺规作图，就差一点就创立群论了，但是高斯研究微分几何去了[呲牙]
高斯绝妙定理，发现了弯曲空间与欧式空间之间的内禀曲率差异，为以后爱因斯坦提出广义相对论，提前准备好了数学。
黎曼在这里面的贡献也很大，所以高斯-黎曼的名字都是一起出现的。
5，世界为什么这么复杂？
因为乘法是不交换的，实数是不可数的。
3等分角
