二重积分通俗讲（学不到的二重积分）

二重积分通俗讲（学不到的二重积分）整个Y轴上的厚度不断累加，就得到用黎曼和表示的体积所以得到：总面积乘以微小的厚度dy整体的面积就是：所有微小面积的叠加之和所有的和写成一元积分的形式：换到Y轴上，这一小块的体积就是ZX面上的面积乘以Y轴上的厚度

一元微积分，二重积分，三重积分贯穿着整个数学分析，教材上严谨的数学推导既整洁又枯燥

本篇带你走进不一样的微积分时空，让你感受到不一样美。

如图是一个三维空间的立体模型

把他翻转到ZX面，每一个微小的面积就是Zxdx

整体的面积就是：所有微小面积的叠加之和

所有的和写成一元积分的形式：

换到Y轴上，这一小块的体积就是ZX面上的面积乘以Y轴上的厚度

所以得到：总面积乘以微小的厚度dy

整个Y轴上的厚度不断累加，就得到用黎曼和表示的体积

所以得到用积分表示和的累加的结果：二重积分公式

我们换到ZY面上，同理得到ZY面上的面积

空间上dx就是微小的高度，整体的体积就是

所以就得到两个方向上等价的体积公式：二重积分

如果将立体结构转换到极坐标空间中：

因为是旋转的，我们取微小的旋转角度dθ，根据弧度制，dθ对应的弧长就是Rdθ

这个Rdθ在立体上就表示宽度

旋转的微小半径就是dR

高度是Z，所以微小块的体积就是ZxdRxRdθ

所有R方向上的总体积就是

写成一元积分形式

整个圆周上体积之和就是

写成积分的形式：得到极坐标下的二重积分

另一个思路：一圈的体积就是

R方向上体积总和就是

写成积分的形式

上述就是二重积分在空间中最直观的描述。