x与y相互独立（X与Y不独立但X）

x与y相互独立（X与Y不独立但X）而不是图2中的这个问题存在一根关键点，图1中为什么是图1图2图3

在涉及到随机变量相互独立的问题的时候，我们有时候会觉得，只要两个变量不相互独立，那么，与这两个变量有关的变量，自然也不会相互独立。这种感觉大多数情况是正确的，但也有例外的情况，比如下面的例子：

若随机变量X与Y独立，则X^2与Y^2必相互独立，其逆不真。

例如：设（X Y）的联合密度函数为

则可求出其边缘分布函数：

图1

图2

图3

这个问题存在一根关键点，图1中为什么是

而不是图2中的

这是因为边缘分布中的大写（X Y）代表的是随机变量，而小写的(x y)代表的是一个数值。本文中的随机变量由X变成了X^2，而积分限还是x 所以出现图1的结果。

同样，按照联合分布函数的定义

可以求得

对于一切x y恒有

通过以上的分析可以看出，即使两个变量不相互独立，与其有关的变量还是有可能相互独立。