二年级数学等量代换题讲解（走近数学6）
二年级数学等量代换题讲解（走近数学6）例1、有一种分布不均匀的香，每一根烧完都是耗时整整一个小时。试问：你如何用燃烧这种香的方式，确定一段15分钟的时间？我们先看两个智力测试题。“等量代换”是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。一般地说，当一个量不容易处理时，我们可用一个与之相等的量去代替，使之变得容易处理。下面介绍这一思想方法在生活实际中的运用。
走近数学（6）
—— 数学与智慧之五（等量代换）
冯跃峰
本文介绍“等量代换”在生活实际中的应用。
“等量代换”是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。
一般地说，当一个量不容易处理时，我们可用一个与之相等的量去代替，使之变得容易处理。
下面介绍这一思想方法在生活实际中的运用。
我们先看两个智力测试题。
例1、有一种分布不均匀的香，每一根烧完都是耗时整整一个小时。试问：你如何用燃烧这种香的方式，确定一段15分钟的时间？
本题看似不好回答，其关键是“香的分布不均匀”，从而无法取其中一段来燃烧。但借助数学中等量代换的思想，该问题不难化解：尽管香的分布不均匀，但“燃烧时间”的分布是均匀的。整体燃烧一根香的耗时是一小时，所以我们只需将燃烧的时间“四等分”即可。
如何将燃烧的时间“四等分”？这又可采用数学中常用的逼近策略，先考虑如何将燃烧的时间“两等分”，这是很容易办到的——将一根香从两头同时点燃即可。
当从两头同时点燃的一根香烧完时，我们便得到了一个30分钟的时间段。现在的问题是，我们还需要将这个30分钟的时间段继续两等分，这自然想到“再次从两头点燃”。但问题是：并没有只够燃烧30分钟的香呀？
稍作思考，不难发现再进行一次等量代换即可：前面不是燃烧了一次30分钟的时间段吗？将这个时间段“转移”到一根完整的香上燃烧，那这根香剩下的“时间段”吧正好就是30分钟吗？由此想到，只需取一根完整的香，先从一头点燃，烧30分钟后点燃另一头，则从此刻开始到这根香燃烧完的时间就恰好是15分钟。
综上分析，便得到该问题的完整解答如下：取两根这样的完整的香，将第一根从两头同时点燃，并将第二根从一头点燃。当第一根香烧完后（耗时30分钟），再将正在燃烧的第二根香的另一头也点燃，从此刻开始到第二根香烧完时，其时间段就恰好是15分钟。
例2、有甲乙两人在一条道路上相向而行，他们最初相距1千米。甲步行的速度是每小时15千米，乙步行的速度是每小时10千米。甲出发时身边带着一只电动玩具狗，狗以每小时50千米的速度向乙的方向奔跑，当狗遇到乙时立即折返向甲的方向奔跑。当狗遇到甲时又立即折返向乙的方向奔跑，……，如此反复，直至甲乙碰面，问狗跑的路程是多少？
这个问题有一个小小的陷阱：很容易想到计算狗每次折返的距离然后相加。如果真的这样计算，则是相当困难的，但采用数学中“等价转换”的策略，问题可迎刃而解：要计算狗跑的路程，只需知道狗跑的时间。而这个时间，就是甲乙从出发到碰面所花费的时间（等量代换）！由此不难得到问题的答案——
甲乙合并的速度是每小时25千米，相距1千米，所以甲乙从出发到碰面所花费的时间是1/25小时，这也就是狗奔跑的时间。又狗奔跑的速度是每小时50千米，所以狗奔跑的路程是50/25=2千米。
我们再看一个历史故事。
例3、有这么一个众所周知的“曹冲称象”的故事。
曹冲在五六岁的时候，知识和判断能力如一个成年人。有一次，吴国孙权送给曹操一只大象，曹操十分高兴。大象运到许昌那天，曹操带领文武百官和小儿子曹冲，一同去看。曹操的人都没有见过大象。这大象又高又大，光说腿就有大殿的柱子那么粗。曹操对大家说：“这只大象真是大，可是到底有多重呢？你们哪个有办法称它一称？” 嘿！这么大个家伙，可怎么称呢！大臣们都纷纷议论开了，但他们都不能说出称象的办法。
这时候，曹冲却说出了一个办法：“把象放到大船上，在水面所达到的地方做上记号，再让船装载其它东西，称一下这些东西 那么比较下就能知道了。”
曹操听了很高兴，马上照这个办法做了。
这个故事中，曹冲表现出来的聪慧实质上就是一种数学机智。
我们可从这样的角度来思考故事中的问题:解题的目标是要称出大象有多重，已有的条件是:只有能称出小物体的称。
条件和目标之间存在差异，能否消除这一差异?更换对象即可：如果我们将大象换成一些与之等重的物体来称不就行了吗?
通过这一思考，问题就发生了变化：只须判断两种物体等重，而这是比较容易解决的，因为生活实际中常常遇到一些判断两个物体等重的例子。
比如，比两个人谁的劲大，只须看谁把弓箭拉得开些就行了；比较两只同样大小的船谁装的货物重，只须看谁的吃水深就行了。
由此，就不难找到称大象重量的策略了。
你看，“曹冲称象”中，用沙子取代大象在船上的吃水深度，其思考过程不正好是数学中等量代换思想的一种体现吗。
我们再看一个类似的例子。
例4、用量杯量出一个小石子的体积。
我们可这样分析该问题：解题的目标是量出小石子的体积，题给的条件是一个量杯。
条件与目标存在差异，因为量杯只能量出液体比如水的体积。
如何消除差异?更换对象即可：如果能将石子换成一些与之等体积的水来量不就行了吗?
这样一想，问题就变为如何找到与石子等体积的一些水，由此不难想到将石子丢入装满水的量杯中即可。
本题也可这样思考: 石子的形状是不规则的，能否将其补成一个规则体?
再注意到量杯可量液体体积，自然想到用水将其补成一个规则体，这借助量杯是很易实现的:将石子放入量杯，再到入适量的水即可。
上述问题的解决方案，实际上就是数学中的“割补”思想、变量代换等思想的体现，它与“曹冲称象”方法有异曲同工之妙。
