杨振宁的杨米尔斯理论有什么用（杨振宁先生最重要的工作）

杨振宁的杨米尔斯理论有什么用（杨振宁先生最重要的工作）否则称为非阿贝尔规范理论，比如Yang-Mills理论，就是一种非阿贝尔规范场论。比如在杨振宁先生1954年的论文中提到的，在描述同位旋为1/2的场时，需要用到2分量的如下波函数。此时的规范变换矩阵为一个2x2的酉矩阵，而大家熟知，一般矩阵乘法是不满足交换律的。单分量波函数的规范变换规范理论也叫规范场论，它要求在局部变换下拉格朗日量具有不变形。这里，规范一词的含义指的是，处理拉格朗日量中冗余自由度的一套数学形式，比如库伦规范，见下图。电磁场的拉格朗日量在做库伦规范变换的时候，给出同样的运动方程，因此变换前后的拉格朗日量在物理上等价。阮图南教授讲授《电动力学》时，笔者关于规范不变性的笔记这里的对称群如果是可对易的，即满足乘法交换律，这样的理论称为阿贝尔规范理论 比如下图的波函数规范变换。

1950年代中期，杨振宁和李政道共同提出，弱相互作用中宇称不守恒。1957年，这一想法被吴健雄在β衰变的实验中所证实。很快，杨振宁和李政道共同获得了诺贝尔物理学奖，但其实1954年发表的Yang-Mills理论才是他最重要的工作。21世纪初，从我在科大东区的礼堂里听到杨先生的报告开始，我就一直好奇，没能为他赢得诺贝尔奖的Yang-Mills理论到底重要在哪里？

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这首先得从Grand Unified Theory (GUT)说起。与爱因斯坦追求的终极万有理论不同，GUT是粒子物理中的一个模型，并不包含引力。没错，它只是一个模型而已。万物道理的真相是无从得知的，人类只能提出一系列的模型，而更优美、更能预测和解释这个世界的模型，就具有更强的生命力。GUT说的是，在极高的能量下（10的16次方 GeV），标准模型中的三种规范相互作用（电磁、弱、强相互作用）可以合并为一种，从而实现除了引力之外的统一描述。伟大的爱因斯坦无法实现这一梦想，也许是因为二战以前人类对除引力和电磁相互作用之外的相互作用知之甚少。

什么是规范理论（Gauge theory）呢? 物理底层的理论有一个强有力的约束，即理论的导出依赖于一些满足一定对称性变换的拉格朗日量。比如，如果定义一个质点的拉格朗日量为其动能减去势能，那么它的运动方程就可以通过最小作用量原理得到，最终结果就是大家熟知的牛顿运动定律。这里，坐标原点的选择对最终运动方程的形式毫无影响。电磁学里有也类似的情形，电势能零点的选择，并不会改变物理规律本身。最早包含规范对称性的物理理论就是麦克斯韦的电动力学，因为磁矢势A加上任意旋度为0的矢量场并不改变磁感应强度B。遗憾的是，这种不变性在广义相对论诞生初期并没有引起足够的重视，直到希尔伯特的接班人-外尔登上历史舞台。外尔提出，麦克斯韦方程组满足规范不变性，而且他最早把对称性引入到量子力学的研究中来。

赫尔曼·外尔（1885-1955)，德国数学家、物理学家，“美既是真”。

规范理论也叫规范场论，它要求在局部变换下拉格朗日量具有不变形。这里，规范一词的含义指的是，处理拉格朗日量中冗余自由度的一套数学形式，比如库伦规范，见下图。电磁场的拉格朗日量在做库伦规范变换的时候，给出同样的运动方程，因此变换前后的拉格朗日量在物理上等价。

阮图南教授讲授《电动力学》时，笔者关于规范不变性的笔记

这里的对称群如果是可对易的，即满足乘法交换律，这样的理论称为阿贝尔规范理论 比如下图的波函数规范变换。

单分量波函数的规范变换

否则称为非阿贝尔规范理论，比如Yang-Mills理论，就是一种非阿贝尔规范场论。比如在杨振宁先生1954年的论文中提到的，在描述同位旋为1/2的场时，需要用到2分量的如下波函数。此时的规范变换矩阵为一个2x2的酉矩阵，而大家熟知，一般矩阵乘法是不满足交换律的。

2分量波函数的规范变换，其中U是一个2x2的矩阵

规范理论简史

什么是标准模型呢？规范场论成功地为电磁相互作用（QED）、弱相互作用（QFD）和强相互作用（QCD）提供了一个统一的数学架构——标准模型。这套理论是一个规范群为SU(3)×SU(2)×U(1)的规范场论，极为精确地描述了自然界的三种基本力：电磁力、弱相互作用和强相互作用力。标准模型这个说法，由Abraham Pais 和 Sam Treiman 在1975提出，该模型很好地描述了现有的几乎所有基本粒子，还预测了一些未曾发现的粒子，许多也陆续被实验发现和证实。比如，1995年的顶夸克，2000年的τ中微子，2012年的希格斯玻色子。在标准模型中，描述强相互作用的是量子色动力学（QCD） 它是一种满足SU(3)对称性的Yang-Mills规范场论。而描述电磁和弱相互作用的是一种满足U(1) × SU(2) 对称性的Young-Mills规范场论。标准模型就像一个动物园，里面有各种各样的基本粒子，它当然不完美，有一些未解决的问题，比如其理论的自洽性，无法解释引力，无法兼容暗物质等等。

弱电统一中的拉格朗日量

泡利（1900-1958）差一点就成为了非阿贝尔规范场论的提出者。受到爱因斯坦晚年工作的影响，对规范对称性的研究一直是40年代的前沿课题。时间回到1953年，泡利在研究短程相互作用时，对广义相对论场方程的6维形式很感兴趣，他把爱因斯坦4维时空之外的两个维度压缩成了二维球体，而这一操作如果继续下去就会得到Young-Mills理论。但是由于理论中的质量起源问题无法解决，严谨的泡利选择没有把结果发表出来，而只是在苏黎世做了几次学术报告。他说：“我已经设想了一个无质量且长久都未被发现的粒子了（指中微子），我有些怯于再设想出一个……”

泡利教授

终于，Yang-Mills理论要出场了，该理论是我们对微观世界理解的基础之一。到了1954年，年轻的杨振宁和罗伯特米尔斯把量子电动力学中的阿贝尔规范性推广为非阿贝尔规范性，本意是为了解释强相互作用。这篇划时代的论文刚发表的时候，并没有取得巨大的成功，它太超前了，强相互作用这块硬骨头还没有到可以被啃下来的时代。泡利对杨振宁的工作提出了批评，在当时，被泡利尖锐的批评并不是什么奇怪的事情。在普林斯顿高等研究员的一个报告现场，泡利一眼就看问题所在，为了维持规范不变形，Yang-Mills场的量子化必然导致无质量粒子的产生，而短程相互作用的媒介子必须有质量。不能解决质量的来源问题成了该理论当时不被看好的主要原因之一。年轻的杨振宁无法解决这个问题，奥本海默为难堪的杨振宁打了圆场，“让Frank（杨振宁的英文名）讲完吧！”

杨振宁和米尔斯论文中的拉格朗日密度和运动方程

幸运的是，由P. W. 安德森在凝聚态中提出的对称性破缺理论，在1960年代被Jeffrey Goldstone Yoichiro Nambu和Giovanni Jona-Lasinio成功运用到粒子物理中来，自发对称性破缺机制令人满意的使人们明白，可以从零质量粒子的理论中去得到带质量的粒子。现在，规范玻色子的质量起源问题，大家一般称之为希格斯机制。为此，希格斯等人于2013年荣获诺贝尔物理学奖：希格斯玻色子对于标准模型太重要了，以至于人们称之为“上帝粒子”。60年代，在这些工作的巨大鼓舞下，杨-米尔斯理论重装上阵，1961年，格拉肖统一了电磁相互作用和弱相互作用。1967年，温伯格和萨拉姆把希格斯机制引入格拉肖的弱-电相互作用，得到了现在公认的形式。强相互作用这个硬骨头，在“渐近自由”的发现之后，才取得突破，时间已经到了70年代。但是，虽然标准模型把强相互在和弱电相互作用在极高的能量整合了，夸克禁闭问题一直没有得到理论上的严格证明，这个问题也导致了21世纪七大千禧年数学问题之一：“杨-米尔斯存在性与质量间隙”问题，这一问题的解决前景不甚乐观，以至于爱德华·威滕也直言“（它）对现在而言实在是太难了”，物理学家普遍相信质量间隙的存在，但至今未能找到确凿的数学和物理学证明。笔者把这个问题写在这里，希望有读者可以有朝一日解决，因为毕竟这里有1百万美元的奖金： “必须在数学上严格证明杨-米尔斯场论存在（即须符合构造性量子场论的标准），亦要证明它们有质量间隙，即模型所预测的最轻有质量粒子的质量必须严格大于零（任何真空的激发态，其能量必须大于零）”。

标准模型中的基本粒子

杨振宁和米尔斯在1954年发表的论文，“Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance”已被引用2千多次。Yang-Mills规范场论用非阿贝尔李群来描述基本粒子，是统一电磁、弱、强相互作用的核心出发点，也是我们理解粒子物理标准模型的根基。

参考资料：

1. https://en.wikipedia.org/wiki/Grand_Unified_Theory

2. https://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_theory

3. https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_Model

4. https://en.wikipedia.org/wiki/Yang-Mills_theory

5. https://en.wikipedia.org/wiki/Higgs_mechanism

6. Phys. Rev. 1954 “Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance”

7. arXiv: https://arxiv.org/pdf/hep-ph/9810524.pdf “Early History of Gauge Theories and Kaluza-Klein Theories with a Glance at Recent Developments”

8. https://home.fnal.gov/~sammcd00/witten-pwa90.pdf “Phil Anderson And Gauge Symmetry Breaking”

https://www.claymath.org/sites/default/files/yangmills.pdf “QUANTUM YANG–MILLS THEORY”