易懂的函数理解，病态的函数一

易懂的函数理解，病态的函数一于是我先复习了些有理数无理数的知识。知道有理数可数可列，无理数不可数，有理数、无理数的稠密性。乍一看狄利克雷函数，好简单，这也忒简单了吧。然后我就陷入了沉思，嗯。。。。。不过，这些病态的函数确实有一些良好的性质，还可以作为反例（一些病态函数就是为了作为反例人为构造出来的）。尽管它们很“病态”，思考它们一通可能脑袋都不正常了，但是它们确实很迷人，我把它们比做林黛玉的花。狄利克雷函数

原文在微信公众号《雨辰高数新讲》

数学当中有一些函数，看起来很不直观，思考起来也很麻烦。有一些函数简直就是直接颠覆自己的认知。是我病了还是它病了？我只能说它病了。哈哈哈，所以叫它“病态函数”吧。

不过，这些病态的函数确实有一些良好的性质，还可以作为反例（一些病态函数就是为了作为反例人为构造出来的）。尽管它们很“病态”，思考它们一通可能脑袋都不正常了，但是它们确实很迷人，我把它们比做林黛玉的花。

狄利克雷函数

乍一看狄利克雷函数，好简单，这也忒简单了吧。然后我就陷入了沉思，嗯。。。。。

于是我先复习了些有理数无理数的知识。知道有理数可数可列，无理数不可数，有理数、无理数的稠密性。

下面我们看看这个函数的一系列“变态特征”。

1、函数为偶函数。

2、无法画出函数图像 但是它的函数图像客观存在。

3、以任意正有理数为其周期，无最小正周期。

4、处处极限不存在，处处不连续，处处不可导。

5、在任何区间内黎曼不可积。

如果在网上搜索狄利克雷函数图像，你会看到一系列的点。不过事实上，不论多么精密的计算机都不能画出它的图像。有些人从小到大第一次见到这种画不出来函数图像的函数，哈哈。虽然你画不出来，但它就在那里，不增不减。。。

至于它的周期嘛，很好理解。不过需要知道有理数加有理数还是有理数，有理数加无理数是无理数。但是它没有最小正周期，因为有理数的稠密性。

根据柯西收敛准则我们可以证明它的极限不存在。极限不存在了，当然也处处不连续了。我们还知道可导必连续，它不连续了那肯定不可导。

至于积分，我们以0到1这个区间为例，每个小区间取有理点和每个小区间取无理点的黎曼和的极限分别是1和0，故不可积。

黎曼函数

黎曼函数，一看这名，它是由德国数学家黎曼发现提出的。

这个函数就稍稍复杂一些了，它的图像同样是那么的难画。下面这个散点图来自华东师范大学版本的数学分析，目的更直观一些。

我们再看一看它的特征。

1，黎曼函数在(0 1)内的无理点处处连续，有理点处处不连续。

2，黎曼函数在区间(0 1)内的极限处处为0。

3，黎曼函数在区间(0 1)包含的任意小区间中，都有无穷个不为零的点。

4，黎曼函数在区间[0 1]上是黎曼可积的。

各种教材都有关于它的性质的一系列证明，此处省略。我们记住它的性质就好了。