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高中数学空间向量与平面向量:平面向量基本定理

高中数学空间向量与平面向量:平面向量基本定理奔驰定理的证明方法不止这一种,只不过每个人认为的已知条件不一样,所以证明方法有多种!我的思路是先通过初中的平面几何知识,推倒“奔驰定理”,然后再帮助推导出三角形“四心”的向量表示方式!从一般到特殊,挺不错的思路!这个其实就是被大部分老师称为的“奔驰定理”(形似奔驰Logo),也就是说,平面内任意起点出发的三个不共线向量,线性相加可得到零向量,系数之比即三个三角形的面积之比!很多向量题目中给出三角形面积之比,也是基于该定理;同时,点P为平面内任意一点,当然也包括“四心”,所以也可以进一步推导出三角形四心的表示方法!一维,1个基底,用长度之比,确定线性表示系数二维,2个基底,用面积之比,确定线性表示系数三维,3个基底,用体积之比,确定线性表示系数

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平面向量基本定理—用长度,面积,和体积来分解向量

平面向量基本定理已说明,平面内任意两个不共线的非零向量作为基底,可以线性表示该平面内的所有向量;但并没有说明两个基底的系数应该是多少,我们通常都是根据平行四边形法则,分解向量,或者通过多次线性表示,不断推倒,来看另外一个思路,利用几何信息来线性表示向量!

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平面向量基本定理已说明,平面内任意两个不共线的非零向量作为基底,可以线性表示该平面内的所有向量;但并没有说明两个基底的系数应该是多少;该结论启发我们,两个线性表示的系数,可以转换成三角形的面积比,将该系数赋予了几何意义!

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总结一下:

一维,1个基底,用长度之比,确定线性表示系数

二维,2个基底,用面积之比,确定线性表示系数

三维,3个基底,用体积之比,确定线性表示系数

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这个其实就是被大部分老师称为的“奔驰定理”(形似奔驰Logo),也就是说,平面内任意起点出发的三个不共线向量,线性相加可得到零向量,系数之比即三个三角形的面积之比!很多向量题目中给出三角形面积之比,也是基于该定理;同时,点P为平面内任意一点,当然也包括“四心”,所以也可以进一步推导出三角形四心的表示方法!

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奔驰定理的证明方法不止这一种,只不过每个人认为的已知条件不一样,所以证明方法有多种!我的思路是先通过初中的平面几何知识,推倒“奔驰定理”,然后再帮助推导出三角形“四心”的向量表示方式!从一般到特殊,挺不错的思路!

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接下来看证明过程,体会不同位置系数的特征

图示

证明过程

重心

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外心

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内心

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垂心

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很多时候,题目中会引入一个任意点P,其实它完全是打酱油的,通过减法运算可以让它消失,但你需要认识这种表示形式!

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按照从一般到特殊的方式,我们通过奔驰定理依次推导证明出三角形四心的一类表示方法,思路看起来已经很清晰,也可以开始识记了!但是,毕竟这类表示形式(如下表),更应该体会的是,为什么一个向量为何可以用表格中的数乘关系来表示;也就是说,下表中的各式均可变形成另外一类形式(如表二),这类形式如果也能直接理解证明,最好不过!

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接下来看证明过程,体会四个证明过程的相似性,以及是如何使用中点,角分线,外接圆,高线这些几何信息的!

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以上四个证明过程,不管是哪种心,证明的出发点,都是按照平面向量基本定理,把一个向量分解到另外两个方向上;而且数乘的系数都是转化成了FA与FB之比,而FA与FB之比又可以转化成,点A和点B到CF的距离之比,这个比正是,SB与SA之比,又反推出了奔驰定理!

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