分布列怎么求均值和方差（离散型随机变量分布列的均值）

分布列怎么求均值和方差（离散型随机变量分布列的均值）(1)理解X的意义 写出X的所有可能取得值;3.期望与方差的一般计算步骤注意：随机变量的均值，方差实常数，它们不依赖于样本的抽取，而样本的平均值、方差是随机变量，它们随着样本的不同而变化.2.均值与方差的性质若Y=aX b 其中a b是常数 X是随机变量 则均值的性质:(1)E(k)=k(k为常数);(2)E(aX b)=aE(X) b;(3)E(X1 X2)=E(X1) E(X2);(4)若X1 X2相互独立 则E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).

1.离散型随机变量的均值与方差

一般地 若离散型随机变量X可能取得不同值为x1 x2 … xi … xn X取每一个值xi(i=1 2 … n)的概率P(X=xi)=pi 则下表称为随机变量X的概率分布列 简称为X的分布列.

E(X)=x1p1 x2p2 … xipi … xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

称D(X)=[xi-E(X)]2pi为随机变量X的方差 它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度 其算术平方根为随机变量X的标准差.

注意：随机变量的均值，方差实常数，它们不依赖于样本的抽取，而样本的平均值、方差是随机变量，它们随着样本的不同而变化.

2.均值与方差的性质

若Y=aX b 其中a b是常数 X是随机变量 则均值的性质:(1)E(k)=k(k为常数);(2)E(aX b)=aE(X) b;(3)E(X1 X2)=E(X1) E(X2);(4)若X1 X2相互独立 则E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).

3.期望与方差的一般计算步骤

(1)理解X的意义 写出X的所有可能取得值;

(2)求X取各个值的概率 写出分布列;

(3)根据分布列 正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.

4.利用期望与方差进行决策

利用随机变量的期望与方差可以帮助我们作出科学的决策 其中随机变量ξ的期望的意义在于描述随机变量的平均程度 而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况.品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关.

(1)若我们希望实际的平均水平较理想时 则先求随机变量ξ1、ξ2的期望 当E(ξ1)=E(ξ2)时 不应误认为它们一样好 需要用D(ξ1) D(ξ2)来比较这两个随机变量的偏离程度 偏离程度小的更好.

(2)若我们希望比较稳定时 应先考虑方差 再考虑均值是否相等或者接近.

(3)若没有对平均水平或者稳定性有明确要求时 一般先计算期望 若相等 则由方差来确定哪一个更好.若E(ξ1)与E(ξ2)比较接近 且期望较大者的方差较小 显然该变量更好;若E(ξ1)与E(ξ2)比较接近且方差相差不大时 应根据不同选择给出不同的结论 即是选择较理想的平均水平还是选择较稳定.

经典例题：[2018浙江卷]

设0〈p〈1，则随机变量ξ的分布列如下表，则当p在（0，1）内增大时，（ ）

A. D(ξ)减小

B. D(ξ)增大

C. D(ξ)先减小后增大

D. D(ξ)先增大后减小

解题思路：用离散型随机变量期望公式与方差公式解题。

解析：由题意得

∴D(ξ)在（0，1/2）上递增，在（1/2，1）上递减，即当p在（0，1）内增大时，D(ξ)先增大后减小，故选D。

答案：D