杨辉三角各项系数有什么规律（为什么杨辉三角）

杨辉三角各项系数有什么规律（为什么杨辉三角）杨辉的《详解九章算法》“杨辉三角”就是因为它最先出现在我国南宋时期著名数学家杨辉的《详解九章算法》（1262）一书中。尽管杨辉在书中声明这一发现应归功于北宋数学家贾宪（约1050年），但人们依旧将错就错，“杨辉三角”一叫就叫了千年，“贾宪三角”是20世纪以来才有的叫法。印度人发明的“阿拉伯数字” 这些数学概念的“命名”，并非因为谁最先发现，而是依据谁最先发表。

文化交流、文献考证及地理问题给“数学概念”的历史考证带来了很多变数，大家一度以为的世界领先往往只存在一段时间，而一旦有了新的发现，这种记录随时都有被打破的可能。

“杨辉三角”是数学家们为了求解高次方程而引入的一个几何排列。在我国，它的发现归功于11世纪的北宋数学家贾宪，这比西方的“帕斯卡三角”（1654）早600年，在世界也一度领先。大家肯定会疑惑，明明是贾宪的发现，为什么它不叫“贾宪三角”呢？

杨辉三角

历史上这种“张冠李戴”的事情还是很多的，比如，求解三次方程“卡丹公式”由塔尔塔利亚给出，关于极限求值的“洛必达法则”应归功于约翰·伯努利，阿拉伯数字是印度人发明的，“托勒密定理”属于“三角形之父”喜帕恰斯.....

印度人发明的“阿拉伯数字”

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这些数学概念的“命名”，并非因为谁最先发现，而是依据谁最先发表。

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“杨辉三角”就是因为它最先出现在我国南宋时期著名数学家杨辉的《详解九章算法》（1262）一书中。尽管杨辉在书中声明这一发现应归功于北宋数学家贾宪（约1050年），但人们依旧将错就错，“杨辉三角”一叫就叫了千年，“贾宪三角”是20世纪以来才有的叫法。

杨辉的《详解九章算法》

“左衺[xié]乃积数，右衺乃隅算，中藏者皆廉”，

杨辉在“杨辉三角”旁这样注释到。

翻译成通俗的语言是这样的：“杨辉三角”最外边左、右斜线上的数字，都分别是各次开方的积数（a^n）和隅算（b^n）的系数，中间所藏的“二”、“三、三”等分别是开平方、立方的廉。

“杨辉三角”虽然只给出了7列，但是明显他已经发现了这个表的构造性质——每一项等于其“肩上”两项的和，如第5列的第三个数6，等于其肩上两数之和3 3（第4列的第二、三个数）。据此性质可以得到它的下一列（第8列）为：1 7 21 35 35 21 7 1.以及第9列：1 8 28 56 70 56 28 1.以下各列依据此规律，在已知第n列的情况下，可轻松得到第n 1列。

如此优美的三角形是如何得到的呢？它的每一个数又代表什么意义？我们又得回到数学家贾宪这里，约1050年，他发现了求高次方程数值解的方法——“立成释锁开方术”，该方法的核心步骤是代换，如求方程x^4=37的近似值，需要令x=y 2然后展开.

这里要求（y 2）^4的展开式，在符号没有普及的宋元时期是一个很难的工作，即使今天我们如果按多项式的乘积展开对学生来说也是不容易的。有没有简单一些的做法呢？答案是有，使用“杨辉三角”即可。为了方便叙述，我们以（a b）^4为例。

首先，（a b）^4展开式化简后有5项，其系数分别为：1 4 6 4 1（“杨辉三角”第五列）.

其次，从第一项开始，每一项都是x的m次幂与y的n次幂的乘积，m n=4，且y的次幂m从4次降到0次，2的次幂n从0次升到4次. 即

使用“杨辉三角”，我们可以轻松得到二项式(a b)ⁿ的展开式，这是一项伟大的工作，这不仅因为它为求解高次方程扫清了障碍，还因为它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来。

那么问题来了，杨辉（或贾宪）得到这个表的方法是纯粹的归纳还是有严谨的推理证明呢？我更倾向于前者，因为在我国宋元时期，并没有讨论到“组合学”的相关内容。而“杨辉三角”从现在的角度理解，其本质是二项式系数（组合数）在三角形中的一种几何排列，“组合学”知识是二项式展开式的基础。下图构成了“杨辉三角”每一项与二项式、二项式系数的对应关系。

我试着用通俗的数学语言为大家解释“杨辉三角”是如何计算的，亦即二项式定理的一个简单证明.二项式定理即

大家很容易发现它的各项系数构成了“杨辉三角”的第n 1列.

二项式定理的证明

（1）.当n=2时，(a b)^²=(a b)(a b)=a^2 2ab b^2，其展开原理见动图

展开式原理-动图

由此可知，(a b)(a b）的展开式中的每一项，相当于从第一部分(a b)中选出a或b 与第二部分(a b)中选出a或b来相乘。如，a^2相当于从两部分中都选了a相乘，而要得到ab有两种可能——从第一部分选a、第二部分选b相乘，或从第一部分选b、第二部分选a相乘，所以它的系数为C(2 1)=2

（2）同理，当n=3时，(a b)^³=(a b)(a b)(a b)中的a^²b的系数可以这样得到：在三部分中选二部分让其拿出a，与剩下一部分拿出b来相乘，共有C(3 2)=3种可能，所以其系数为3，即3a^²b

（3）一般的，(a b)^ⁿ由n个（a b）相乘得到(a b)...(a b)(a b).其展开式的每一项都是由这n个部分中选a或b出来相乘得到。如，a^n由每一部分都选a来相乘得到，只有一种可能，其系数为1，而

所以，n部分中要让四部分选b 共有C(n 4)种可能，故其系数为C(n 4)。

虽说这是任意一个高二学生就已知晓的内容，但是关于任意正整数n的二项式定理的第一个证明却要直到1654年才由法国数学家帕斯卡（ Pascal ）给出，同时帕斯卡也给出了类似的排列，也因此欧洲数学家将“杨辉三角”叫做“帕斯卡三角”。

如下图，

记表格的第n 1排、第n 1列所在数为t_mn，帕斯卡通过统计证明得到：

但是一直以来，欧洲数学家并不知道中国、印度及阿拉伯在这方面的工作，觉得“帕斯卡三角”的发明权应属于欧洲，随著全球文明的交汇融合、古代文献的不断发掘考证，进入20/21世纪，全球数学家渐渐承认了中国在这一领域的世界领先地位。

但同时，随著印度、阿拉伯文献的进一步考证，“杨辉三角”的首发权又将移位到印度。尽管只有只言片语，但公元前2世纪的印度数学家Pingala的确已经有了“杨辉三角”的雏形，其后的两位印度数学家Varāhamihira（公元505年）及Halayudha（ 公元975年）给出了更详细的描述。而Mahāvīra（公元850年）走得更远，他实际上相当于早于帕斯卡得到了组合数公式，这在目前来看是世界第一的.

针对古印度数学家在这一领域的成就，我们也应该存部分怀疑的态度，因为古印度的数学著作都是以诗歌形式出现的，其翻译难度不亚于对古文的翻译，而且古印度数学家的生存年代也往往存疑。各家之言，是否符合史实还需要进一步的证据支撑。

总之，由于种种原因，“杨辉三角”有了多个名称，其他如“帕斯卡三角”、“杨辉三角”、“海亚姆三角”、“塔尔塔利亚三角”等。同时，“杨辉三角”的发现者仍在不断的改变——从帕斯卡、杨辉、贾宪，再到印度的Pingala。

类似于“杨辉三角”这样的数学成果还有很多，它们同时存在于不同的名族、并在不断的改变、改进，但数学不应该有国界，数学的发展应该是世界人民的共同努力促成的结果，我们以人类拥有这样的理解力、发展力而感到骄傲.