海韵教育小学数学超级课堂（海韵教育数学化）

海韵教育小学数学超级课堂（海韵教育数学化）弗赖登塔尔在《数学教育再探——在中国的讲学》一书中提出，“把建模定义为理想化和简单化，这样定义不那么精确，它还是切中了要害，把握某种（动态或静态）情境的要点，在丰富的相关情境中关注它们，并且随着事物的进展，会有更加丰富一些的内容”。将“丰富的相关情境、更加丰富的内容”建立联系的过程即是结构化。确定“谁”是起点，将所有的内容建立起一个演绎体系就是公理化。这两个活动过程是数学化的高阶表现，小学阶段主要是结构化。三、结构化、公理化是数学化的终极目标二、模型化是小学阶段数学化的主要内容广义地说，用直观图、抽象符号（数、字母及式）等刻画有特点、有规律的事物的过程是模型化，也就是任何一个直观图或符号都能解决“一类”问题。即“模型就是讲故事”，是横向数学化的主要内容。《义务教育数学课程标准(2022年版)》在小学阶段提出模型意识——对数学模型普适性的初步感悟，就是强调前述模型化的过程。例如，2a”能表示

“化”作为后缀，加在名词或形容词后面构成动词，表示转变成某种性质或状态。数学化就是将“常识”转变成“数学”，体现了弗赖登塔尔的著名论断：数学是系统化了的常识。一方面，常识是最原始、最接近于必然的；另一方面，数学被认为是确定的、必然的知识或理论，好像远离常识，让人敬畏，感到抽象枯燥。产生这种“悖论”的原因是把数学当作“现成的结果”而没有把它当作“活动”，学习数学没有经历数学化。那么什么是数学化？如何进行数学化呢？

一、数学化以及横向、纵向数学化的内涵

数学化就是把不同层次的“常识”进行提炼和组织，凝聚而成的概念、性质、关系和规律。其中，第一层次是对“生活常识”的提炼，所得到的结果又成为再提炼与组织的对象，形成新的“常识”。如此反复，数学就显现出层次性，构成许多等级，因此数学具有诸如抽象、严密、系统等特性。

数学化包括横向数学化与纵向数学化。横向数学化指将生活现实抽象为数学的概念与命题等。其基本方式是模型化，是数学化的基础。纵向数学化是指数学概念、命题等内容的再组织，其基本方式是结构化，最高水平是公理化。横向数学化与纵向数学化之间的界限模糊，它们的区别依赖于特定的环境。例如，数数活动中既有横向数学化，也有纵向数学化。“一个、一个地”计数出个数相同但物理属性不同的事物，认识自然数，是横向数学化；根据所数事物的结构特点，用较为复杂的计数方法数出个数，比如，长方形宽3、长5，“三个、三个地”计数并用乘法3×5=15得到长方形的面积，是纵向数学化。

二、模型化是小学阶段数学化的主要内容

广义地说，用直观图、抽象符号（数、字母及式）等刻画有特点、有规律的事物的过程是模型化，也就是任何一个直观图或符号都能解决“一类”问题。即“模型就是讲故事”，是横向数学化的主要内容。《义务教育数学课程标准(2022年版)》在小学阶段提出模型意识——对数学模型普适性的初步感悟，就是强调前述模型化的过程。例如，2a”能表示“每千克苹果a元，买2千克的钱数”“能被2整除的数”“你有a元钱，我的钱数是你的2倍”等等。由此可见模型化无处不在，是应用数学的基本体现。

模型化需要对现实情境进行简化与理想化，跨学科的主题式或项目式学习为此提供了载体，让学生感受到把模糊的、不太确定的现实问题浓缩成精确的数学问题的必要性。

三、结构化、公理化是数学化的终极目标

弗赖登塔尔在《数学教育再探——在中国的讲学》一书中提出，“把建模定义为理想化和简单化，这样定义不那么精确，它还是切中了要害，把握某种（动态或静态）情境的要点，在丰富的相关情境中关注它们，并且随着事物的进展，会有更加丰富一些的内容”。将“丰富的相关情境、更加丰富的内容”建立联系的过程即是结构化。确定“谁”是起点，将所有的内容建立起一个演绎体系就是公理化。这两个活动过程是数学化的高阶表现，小学阶段主要是结构化。

小学生的数学化不仅仅是动手操作获得提炼与组织的“原料”，更重要的是弗赖登塔尔所说的“反思自己的活动，从而改变看问题的角度，并伴随着局部结果的颠倒和整体的公理化（对小学生而言主要是结构化）”。操作探究、感知感悟事物的性质与蕴含规律，再通过“反身抽象”学会用数学符号语言描述和刻画，再在更大范围运用这些性质与规律解决问题等都是数学化的具体体现。

作者：刘加霞（北京教育学院初等教育学院院长，教授，教育学博士，主要从事数学教育、教师培训研究）；陈晓波（北京教育学院初等教育学院副教授，教育学博士，主要从事语文教育、教师教育研究）