高中数学论文网站（HPM视角下高中数学多样化作业的设计）
高中数学论文网站（HPM视角下高中数学多样化作业的设计）迄今为止，数学史与数学教育之关系（称为HPM）作为一个学术研究领域诞生大概四十多年，华东师范大学汪晓勤教授指出，“数学史可以让数学变得人性化，而且人性化的数学教学能使学生热爱并深刻理解数学”。英国福韦尔指出数学史为学生提供探究的机会。数学史家琼斯认为一个问题最早，最后，最好的解法如何等都能激发学生的兴趣。M·克莱因从学生角度提出学习困难具有历史相似性。传统的“刷题题海”战术已经不适合当前双新双减的教学改革现状，如何设计高中数学作业达到减负增效成为了当务之急。为避免数学作业陷入机械化的无效计算之中，可通过数学多样化作业，引发学生的求知欲，从而喜爱数学，温暖学生心灵，提升数学核心素养。数学应该要回归它的本源，让学生们享受发现和探索的过程，营造良好的数学学习状态。[摘要]本文在双新双减的背景下，从数学史与数学教育之关系（也称为HPM）视角研究如何设计数学多样化作业，关怀学生作业负担问题，培养学生
本文为“2022年第四届数学文化征文活动
HPM视角下高中数学多样化作业的设计
作者 : 朱悦音
作品编号：032
[摘要]本文在双新双减的背景下，从数学史与数学教育之关系（也称为HPM）视角研究如何设计数学多样化作业，关怀学生作业负担问题，培养学生的人生信念，提升学生的数学核心素养。本文通过教材中的复数艺术创作、高考中的李萨如图探究、最速降线问题解决、“倍立方”问题与折纸建模四个数学史多样化作业案例，阐明数学史可以为学生引导“数形结合”思维，提供“数学建模”实践，在此基础上得出基于数学史的多样化作业有四大优点：探究问题有来源，多方法研究有抓手，由浅及深有内涵，立德树人有效果。
[关键词]HPM、数学多样化作业 、数学史
2017年，《中国中小学写作业压力报告》指出我国中小学生日均写作业时长是全球水平的三倍以上，上海以每日写作时长3.1小时，位居城市中小学作业时长榜首。2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅出台了一系列“双减”政策措施，提出：“使学生过重作业负担和校外培训负担、家庭教育支出和家长相应精力负担有效减轻”的工作目标。在我的教学生涯中，我发现高中生的数学作业往往占据大量时间，学生经常在凌晨还在苦苦完成数学卷子，作为老师真的看在眼里，急在心里。
传统的“刷题题海”战术已经不适合当前双新双减的教学改革现状，如何设计高中数学作业达到减负增效成为了当务之急。为避免数学作业陷入机械化的无效计算之中，可通过数学多样化作业，引发学生的求知欲，从而喜爱数学，温暖学生心灵，提升数学核心素养。数学应该要回归它的本源，让学生们享受发现和探索的过程，营造良好的数学学习状态。
迄今为止，数学史与数学教育之关系（称为HPM）作为一个学术研究领域诞生大概四十多年，华东师范大学汪晓勤教授指出，“数学史可以让数学变得人性化，而且人性化的数学教学能使学生热爱并深刻理解数学”。英国福韦尔指出数学史为学生提供探究的机会。数学史家琼斯认为一个问题最早，最后，最好的解法如何等都能激发学生的兴趣。M·克莱因从学生角度提出学习困难具有历史相似性。
在我的教学实践过程中，我依托数学新教材中的大量数学史素材，挖掘数学史上的经典问题，借鉴了数学史上数学家的研究方法，以高中数学知识研究问题，进一步研究拓展型数学问题，同时还可以利用现代信息技术手段验证古代方法，达到因材施教，深入浅出的效果，让不同数学基础的学生都可以在探究过程中收获发现的喜悦。HPM视角下的数学多样化作业以数学兴趣为联系，通过历史上的数学家的成长经历鼓舞学生，拓展数学知识，深化数学文化内涵，启迪学生用数学思维思考人生，感悟成功的真谛和生命的意义，做学生的良师益友。
基于我的多样化作业实践，我归纳出了“数形结合、数学建模”两类数学多样化作业的设计方法，提升了学生数学核心素养，并在此基础上得出基于数学史的多样化作业有四大优点：探究问题有来源，多方法研究有抓手，由浅及深有内涵，立德树人有效果。以下简要介绍一些高中数学多样化作业设计方法。
一、数学史引导“数形结合”思维
对于高中生而言，如何建立形与数的联系是突兀而陌生的，数学史上的经典问题的解决可以引导学生锻炼“数形结合”思维，在动手探究中直观感受到数与形结合的意义。数学史素材也可以创新试卷形式，加强情境设计，在高考中也有渗透历史文化，多次出现数学史名题。通过"研读教材，比较差异→了解学情，聚焦问题→视频激趣，形象直观→史料授法，科学生动→软件画图，美观便捷"五个步骤，以教材和学情为基础引导学生通过“看-学-画"三个层次，将数字表达转化为图形表达，把握知识内涵 了解数学在生活中的应用，学会用数学的语言表达现实世界。
案例1 教材中的复数艺术创作
上海高一新教材在复数引入之初就给出了复数四则运算的定义，在与定义了复平面和复数的坐标表示后再引入复数的运算相比较，把复平面及复数运算的几何意义作为一种拓展性质，这在某种程度上还原了历史上数学家对于复数研究朴素而自然的探究过程。学生会困惑：复数既然在生活中不会出现，那么用坐标表示复数有什么意义呢？只是因为复数由实部和虚部组成可以用坐标表示么？复数有什么用呢？对此，我借助历史上数学家的艺术活动设计了一个简单的绘图创作多样化作业，让学生们绘制出美丽的分形图，从而感悟复数的意义。
首先，我提供了视频片段《最强大脑：分形之美》，视频中讲解了分形几何是在复平面上绘制，并给出了一个数学式子:，学生们第一次发现了复数的具体应用，充满了探索的兴趣。在讲授完基本的知识点之后，我提到，数学史上，数学家曼德尔布罗利用复数的运算特性和复平面画出了一幅幅美丽的艺术作品。而我们也可以像数学家一样绘制属于自己的分形图，查找相关资料探究这些分形图背后的数学秘密。教师引导学生利用平板电脑登录网站http：//weavesilk.com/，设置几个简单参数后在复平面上绘出图片（如图1）.在绘图创作过程中中，美感诠释了数学内涵，使数学变得通俗易懂，数学开拓了美感的无限可能，使作品变得绚丽多彩。
图 1学生分形作品：雪花
在学生探究过程中，好多学生沉迷于徒手绘图，与同学们分享交流，自然引发了探究欲，想要弄清如何由复数的几何意义来表示分形图的呢？这些美丽的图形实际上是由坐标系的复数，进行一些迭代运算得到的，由于运算比较复杂，因此我们现代人会借助计算机工具画出具体的图像，计算机有很多可视化的表达，对数学研究很有帮助，一般是用程序代码完成的。数学的探究是永无止境的，复数可以画分形图，而自相似性可以研究很多自然界的事物，比如肺部的纤维就有这个特征。有同学当场表示要在课后学习计算机程序语言，画出更精美的分形图。
案例2 高考中的李萨如图探究
2021年上海数学高考中的第14题有着丰富的数学史背景内涵，是一道数学史经典问题的再现。学生需要由参数方程得出图像，非常考验学生数形结合的能力。这道题虽然是选择第二题，不属于难题，但其得分率并不尽如人意。我在研究了此题的数学史背景后，改编成一道数学多样化作业，学生积极性非常高。
例：已知参数方程
下列选项的图中，符合该方程的是
本题通过三角换元可以转化为
这一参数方程完美地再现了声音的频率曲线。在历史上，法国科学家朱尔斯·安东尼·李萨如（Jules Antoine Lissajous）发明了一种仪器，依赖于两个音叉，每个音叉的末端都贴着一面小镜子。当音叉振动的频率成简单的比例时，令人着迷的曲线就会出现在屏幕上。李萨如将该装置推广为将乐器调谐标准化的一种方法。这一漂亮的图形被称为李萨如图。由此我设计了多样化作业，我带领学生使用示波器调节参数，研究改变a b 的值，得出
的不同图像，并总结规律。
在探究过程中，学生们发现，可以利用示波器研究更多的三角函数，并且还可以借助计算器程序直接演示这一图像的形成过程。学生们惊喜的发现了美丽的数学图形背后的数学原理，研究证明了这些美丽的图形。
数学史启发高中生对美感的追求，激发了学生的创造力和想象力。在案例1中，复数本身是一个抽象的概念，学生从图片上可以感知到复数的存在，理解复数的意义，锻炼了“数形结合”思维。在案例2中，一道高考题竟然蕴含着声音的奥秘，这使得同学们产生了探究兴趣。通过设计多样化作业，使得学生学生对自己创作十分感兴趣，制作了不少美丽的壁纸使用，让学生有了“发现的喜悦”。简单的操作，赏心悦目的图片给学生探究图片背后的数学原理的动力，学生领略到数学的美感，才会更亲近数学，研究数学。教师可以借助数学史引导学生创造自己的艺术作品，从而乐于探究艺术背后的数学内涵，提升“直观想象”数学核心素养，获得数学实用的成就感。
二、数学史提供“数学建模”实践
新教材将数学建模单独成册，足见其重要性，同时强调：“重视数学史在数学教育中的作用，许多题附有历史的简述，体现人类文化知识的积累和创新的过程。数学史上的经典数学建模问题有着三大优越性：
（1）深入浅出：高深尖端的数学建模很难，但数学史上的经典数学建模问题并不复杂，一般是初等问题，也有多样化，可以深挖。
（2）历史相似性：这些经典的数学建模问题在历史上肯定也有过探究历程，学生也很容易出现相似的想法。这使得数学建模的教学有脉可循，有法可依。
（3）实践性：综合应用已有的数学知识，以培养数学核心素养为主要教学目标，不依赖于电子设备与高端软件，可以面向一般普通高中的普通学生。
案例3 最速降线问题解决
《普通高中数学课程标准》（2017版）在微积分专题中指出，要在具体的情境中用极限刻画导数，在教学中，要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，应使学生认识到任何事物的变化率都可以用导数来描述。新教材中导数的概念由研究变速运动的瞬时速度抽象而来，符合数学史上导数的发展过程。在本章学习结束之后，我将历史上的最速降线问题作为多样化作业，引导学生体会导数的意义，并借鉴历史方法得出数学建模的过程，体会不同时期借助不同数学工具研究数学建模问题的实践思路。
1630年，意大利科学家伽利略提出最速降线问题：给定两点A，B（B不在A的垂直下方），若不计摩擦力，问这个质点在重力作用下沿着什么曲线从点A到点B滑下时间最短。
学生研究这一问题起初的思路与历史上类似，猜测是直线或圆弧。古希腊数学家认为两点之间，直线最短。伽利略在研究了八年之后，在著作《论两种新科学》中认为这个曲线是圆弧。我让学生在构建不同的模型滑梯滚动小球发现这些都是错误的。
1696年，数学家约翰·伯努利在看到了这个问题以后，钻研了足足两周，最终想出了一个绝妙的解法。（光线法）约翰·伯努利利用这一问题挑战牛顿。当晚年的牛顿他得知自己被挑战时，熬了一个通宵的时间就把这道题解了出来，堪称17世纪大型数学家打脸现场。
学生们在研究这一问题时，很迷惑伯努利为什么比牛顿差这么多呢？在通过探究这一问题之后，由滚动小球初步得出结果，再计算验证后，发现先进的数学工具：微积分在这一问题上的优越性。有同学提出可以用更先进的数学工具打败牛顿。他利用Geogebra软件构造了这些曲线，利用计算机验证了最速降线曲线这一问题。
图 6最速降线程序图
案例4 “倍立方”问题与折纸建模
新教材新增了一节内容《指数幂的拓展》，笔者思考到学生会产生疑惑：为什么根式表达已经很简洁明了，还需要用指数幂的形式来表达呢？同时考虑到这涉及到数系的拓展，于是设计了古希腊三大问题之倍立方问题的折纸探究作业：如何用尺规作出二倍体积的正方体是个千古难题，无法一蹴而就，为此，我们可以先降维考虑，请同学们折纸研究倍平方问题。面积为1的正方形，它的边长也为1，当面积增大到两倍时，边长是多少？这里涉及到 能否也用2的指数幂来表示这个数？
学生自发地折出2的平方根，并发现其实可以用折纸的方法折出2的立方根，这可给他们兴奋坏了，难道他们解决了倍立方这一千古难题？我很高兴学生的探究精神，我要求他们探究折纸问题，日本数学家曾发现折纸有六种方式，可以产生六种方程变化，要求同学们探索为什么折纸可以得出2的立方根，以及为什么尺规作图不能得出2的立方根。这一问题，还涉及到折纸的六大操作，其对应的方程与尺规不同，这是尺规不可能问题在折纸中可以完成的主要原因，这显然比冰冷的数字有意思多了。在历史上，高斯曾经就探究过此类千古难题，在十九岁时用尺规作出正十七边形。
数学知识的产生往往是在前人的基础上得出的，对于一些经典问题往往有着几代人的智慧结晶，富有深刻的数学内涵。数学史为数学多样化活动提供了有据可循的数学建模活动素材，改变枯燥的数学学习方式，为数学学习过程注入活力，保护和提升学生的好奇心、创造力和想象力，也是数学史上这一概念发生发展过程的再现与重构。教师可以融入数学史上的一些经典探究问题，让学生在这一过程中经历知识的发生发展过程，获得成功的体验。
三、结论与启示
在教学实践中，我结合新教材每章所学内容及阅读材料，每月一次将周末作业布置为合作撰写多样化作业报告，借助社团兴趣课时间给学生展示分享机会。我的学生们认为多样化作业让他们大大增加了对数学的好感，并培养了他们远大的人生志向，有一名学生在报告感想中这样写道：
数形结合探究课上，老师播放全球科学家大合唱的视频，其中科学家们想要超越宇宙，探索时空的梦想使我震撼性地感受到了他们“仰观宇宙之大，俯察品类之盛。”的气魄。我又一次重拾儿时成为科学家的梦想，激发了我好好学数学的信念。
接着，同学分享了七桥问题的探究过程，老师赞赏了同学的研究精神，并抛出新的数学史上的类似问题：在黑板上画了一条连续而封闭的复杂曲线，并在曲线间做了个点，问这个点是否在图形内部。
我在跟同学们一起探究这一作业的过程中发现可以借助若尔当曲线定理来解决。这一问题可以推广至三维或者更高维的问题，未来也许可以判断宇宙中异次元世界与我们是在同一侧还是另一侧。这一下子让我改变了对数学的印象，不再是一道道数学题，而是对数学有了更广阔的意识，数学成了一个更加崭新的神奇世界。
——胡依娜《细嗅数学文化之香》
这让我非常感动，这些多样化作业正是温暖学生心灵的重要载体，减轻学生负担。由此可见，绝大多数学生都非常喜欢融入数学史的数学多样化作业，认为融入数学史让原本枯燥的数学作业变得有趣，更有探究欲。数学史融入多样化作业有着三大优点：
（1）减负激趣
数学家们上千年探索的经典问题同样会引发学生的探索欲。学生可以循着历史脉络一步步多角度深入浅出地解决问题，提升数学核心素养。
（2）生活应用
历史上的数学问题很多从生产生活中抽象得到，数学建模正是新教材的新模块，数学史可以提供有据可循的研究方法与步骤，培养学生数学建模的能力。
（3）古为今用
部分数学问题可以用现代技术直接求解，例如GPS计算航海距离。可这样就缺少了数学思考，非常可惜。可以依托多样化作业带领学生身临其境地感受数学家创造奇迹的过程，锻炼数学思维，从而解决未来遇到的问题，并利用信息技术验证古代方法。
我常常想着数学教育应有的使命感：心怀浪漫，执着真理，为往圣继绝学，为万世开太平。我们数学教师不仅需要教学生数学知识，也应该要带给学生探究数学的方法与好奇心。数学里那些逻辑的推演和理性的思维方式蕴含着我们度过这一生所需要的所有智慧，蕴含着我们“永远在突破”的不朽的精神力量。数学史提供了探究素材和背景，数学史多样化作业激励学生创造美妙的事物及发现事物的意义，让每个人都有机会发现有趣而重要的数学知识，体会到人文关怀和学科德育的魅力。
参考文献：
[1]汪晓勤．HPM：数学史与数学教育[M]．北京：科技出版社，2017
[2]王鑫 汪晓勤 岳增成. 基于数学史的数学探究活动设计课例分析[D]. 华东师范大学教师教育学院，200062;华东师范大学数学科学 2018
[3]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017 年版）[M]．北京：人民教育出版社，2017.
[4]汪晓勤．数学文化透视[M]．上海：上海科学技术出版社，2013
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