初中几何四点共圆判定（初中几何12四点共圆）

初中几何四点共圆判定（初中几何12四点共圆）∠1 = ∠4∴ ∠2 = 2∠3 = 2∠1 = 2∠4∵ ∠OCA=90°，∠DCB=90°∴ ∠1 = ∠3，∵ ∠2 = ∠3 ∠4，且∠3 = ∠4

对初中而言，四点共圆已是比较难的知识点了，属于初高中的衔接点。

在学习四点共圆之前，我们先了解一下弦切角定理：

弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半：∠2 = 2∠1，∠1=∠4

证明如下：

∵ ∠OCA=90°，∠DCB=90°

∴ ∠1 = ∠3，

∵ ∠2 = ∠3 ∠4，且∠3 = ∠4

∴ ∠2 = 2∠3 = 2∠1 = 2∠4

∠1 = ∠4

证明完毕

四点共圆通常有5种判定：

1. 共端点，等长度。

1. 同侧双直角三角形共斜边。

通过直角三角形斜边上的中线是斜边的一半来证明：

AO = OD = OC = OB

1. 异侧双直角三角形共斜边。

证明同3

1. 四边形对角互补。

即，如∠D ∠C=180°，则ADBC四点共圆。

使用反证法：

作ABD外接圆O，如C在圆O外，连接AC与圆O交于C’ 通过圆心角与圆周角定理，可得∠ADB ∠AC’B=180°，且∠AC’B= ∠ACB ∠ C’BC

∴ ∠AC’B ≠ ∠ACB，与原命题矛盾

∴ C在圆O上。

如C在圆O内，证明原理同上

1. 两个三角形共边等角。

即，如∠1 = ∠2，则ADBC四点共圆

依然使用反证法：

如果B与ACD三点不共圆，则有B’与三点共圆，根据等弧对等角，得：

∠1 = ∠CDB’，而∠2≠∠CDB’

∴ ∠1≠∠2，与原命题条件矛盾

∴ B与ADC三点共圆。

证明完毕

除了以上5个外，还有2个判定，但都超过初中程度了：

托勒密定理：

若ABCD四点共圆（ABCD按顺序都在同一个圆上），那么AB*DC BC*AD=AC*BD。

对应的逆定理：

四边形ABCD中，若有AB*CD AD*BC=AC*BD，即两对边乘积之和等于对角线乘积，则ABCD四点共圆。

西姆松定理：

过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。

对应的逆定理：

若一点在一三角形三边上的射影共线，则该点在三角形外接圆上。