高中数学高一集合题讲解（初学讲义之高中数学）

高中数学高一集合题讲解（初学讲义之高中数学）举例命题一定能判断真假。但是能判断真假的语句不一定是命题，比如虚假陈述。基本概念关于命题，最需要明确的就是，命题是一种推出（推断）关系，不是陈述、疑问、命令。既然是推出（推断），它就可能是正确的（真命题），也可能是错误的（假命题）。

尽管有的教材版本中略去了《命题》部分，在部分高考卷中也不是考察的重点甚至不做考察，但对命题和集合的学习有助于建立初步的逻辑思维，这对数理学科的学习非常有帮助。

命题

命题部分需要掌握的核心内容较少并且较为简单，但由于是初次接触这种略显公式化地将“条件”和“结论”明确分开的语句模式，因而需要进行一定量的训练来形成思维模式。好在这部分的练习方式非常灵活、生动有趣。

（一）

基本概念

关于命题，最需要明确的就是，命题是一种推出（推断）关系，不是陈述、疑问、命令。

既然是推出（推断），它就可能是正确的（真命题），也可能是错误的（假命题）。

命题一定能判断真假。但是能判断真假的语句不一定是命题，比如虚假陈述。

举例

（1）某天你的朋友对你讲：“今天我买了巧克力。”

这句话陈述了一个事实（也可能是骗人的），没有推断，不是命题。

（2）紧接着他问你：“你要吃我买的巧克力吗？”

这是疑问句，抛出了问题，没有推断，也不是命题。

（3）看你没有反应，他继续说：“吃掉这块巧克力吧！”

这是祈使句，未作推断，也不是命题。

（4）你告诉他为什么不吃：“巧克力吃多了的话，会容易发胖的。”

这句话作了推出（推断），它根据“巧克力吃多了”，推断出“容易发胖”，因而是命题。

练习：对于一句话是否是命题，可以在日常生活中经常练习，比如专门抽出一个空闲的时间段，对自己讲出的每句话和朋友或家人对你讲的每句话，都进行判断是否是命题。

（二）

在学习命题时，必须要学会把命题拆分为明确且独立的“条件”和“结论”两部分，用“如果……那么……”的句式来表达。

很多命题乍看上去，条件和结论两部分区分得并不是很明确，因而需要专门地训练，

比如“巧克力吃多了容易发胖。”这句话，拆分为“如果……那么……”就是“如果（我）吃多了巧克力，那么（我）会容易发胖。”

练习：对于命题的拆分，可以用上面讲到的方法中一并练习：在某个时间段内，与朋友或家人约好，对讲出和听到的每个命题，都用“如果……那么……”的句式再复述一遍，并讨论在复述的过程中，意思是否产生了偏差，直到熟练为止。

（三）

练习：对初中、小学曾经学过的数学、物理、化学、生物等各科课本中的定理、公理、推论都进行是否是命题的判断，对其中的全部命题全部进行“如果……那么……”的改写形式。

比如“有两条边和它们的夹角相等的两个三角形全等”

可以写为：

如果有两个三角形它们有两条边和这两条边的夹角相等，

那么这两个三角形全等。

这样可以同时回顾复习之前学过的重要定理，同时更加明晰它们的推出关系。

（四）

对于给定命题，能够写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假。

在能够熟练拆分命题的情况下，写出给定命题的逆命题、否命题、逆否命题都很简单，不做过多阐述。

值得注意的是，原命题和它的逆否命题真假一致，逆命题和否命题真假一致（逆命题和否命题互为逆否命题），原命题和逆命题（以及否命题）的真假无必然联系。

练习：在前文中回顾之前所学的定理公理推论时，再全部陈述出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假。

充分条件和必要条件

充分条件和必要条件的内容较少且相对简单，不做过多阐述。由于是初次接触，也需要一定量的练习来熟悉这套逻辑语言。

集合

《集合》是高中数学中非常基础的内容。尽管在高考中纯粹关于集合的题目很少，但是集合的基本思想和应用是贯穿于高中数学的各个部分的，因此这部分也要扎实掌握。

（一）

要理解集合是指一个群体，这个群体有可能能用通用的公式来表达，也可能只能一一列举。无论如何，这些元素组成了一个群体。这个群体（集合）可能有很多个元素，可能有无穷多个元素，也可能只有一个元素，或者没有元素。

要注意辨析的有：空集是没有任何元素的集合。

只有一个元素的集合和元素是不同的，前者是集合，后者是元素。

比如{1}就是一个集合，它只有一个元素：1。而1本身只是一个数字或者元素。

（二）

集合之间的关系和运算

熟练掌握全集、交集、并集、补集、和集、差集、（真）包含于的概念。

注意辨别“包含于”（⊆）是集合间的关系，“属于”（∈）是元素和集合的关系。

维恩图可以帮助直观理解集合间的关系，特别是集合运算部分，刚开始练习时，每个都要画维恩图。

在计算集合元素个数时，要理解计算式分别减去的各项和加上的各项是为什么？（因为被重复计算或被重复减去）

举例

card(AUBUC)=card(A) card(B) card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-ard(C∩A) card(A∩B∩C)

注：card(X)表示集合X中元素的个数。

第一，全部相加：card(A) card(B) card(C)，

第二，由于A∩B、B∩C、C∩A中的元素，分别同时出现在A和B、B和C、C和A中，总共被算进去了2次（多了1次），因此要减去重复的，于是：

card(A) card(B) card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)

第三，由于A∩B∩C中的元素，在单独的A B C时被算了3次，在A∩B、B∩C、C∩A中都出现了，在减去A∩B和B∩C和C∩A的元素个数时，A∩B∩C中的元素又都被减去了3次，相当于又根本没有算进来，因此要再加回来，因此得到原公式。

练习：用韦恩图和上述思路，推导出求4、5、6个集合的并集的元素个数的公式，并得出对任意的n个集合求它们并集的元素个数的公式。

（三）

子集与推出关系

这部分涉及到整个高中数学中非常基础的应用，主要有判断定义域和值域、解各类不等式等，因此要熟练掌握。

尤其是用数轴来表示数集的一部分以及数集间的关系。这在整个高中数学都会经常用到。

命题和集合部分的内容就这些，主要是多练习，养成思维模式。