高考解三角形大题中向量应用技巧（高考秒杀题平面向量）

高考解三角形大题中向量应用技巧（高考秒杀题平面向量）（2）遇到三角形中的面积比值，且题干条件中含有向量时。在平面向量中，遇到以下类型的题目时，就可以考虑是否能用“奔驰定理”来解题： （1）遇到和三角形“四心”相关的题目时；

在高中数学平面向量中，会遇到一种题目，这种题目的解题方法需要用到“奔驰定理”。为什么叫“奔驰定理”呢？这是因为这个定理所在的几何图形类似于奔驰车标，所以被戏称为“奔驰定理”。

“奔驰定理”会用到哪些地方？

在平面向量中，遇到以下类型的题目时，就可以考虑是否能用“奔驰定理”来解题：

（1）遇到和三角形“四心”相关的题目时；

（2）遇到三角形中的面积比值，且题干条件中含有向量时。

以上两种题目，都可以考虑使用“奔驰定理”。

下面我们来看一下“奔驰定理”的两种证明思路。

一、奔驰定理

奔驰定理的推广：如果P不在三角形内呢？

既然有向量，那么我们可以给面积也定义方向，当然有向面积不是向量，只是有正负，内部为正，外部为负。因为没有想出合适的符号，所以用了向量的符号。

例如在三角函数定义时，三角函数线是有向线段，x轴上方为正，下方为负。

如图3，已知P为平面内一点，则:

温馨提示：在涉及到用“奔驰定理”求解的题目，一般都是选择题或者填空题，所以同学们在遇到这种题型的时候，就可以直接使用定理的结论来解题即可。因为选择题或者填空题要求的是最终答案。

在遇到大题里面含有奔驰定理时，这个时候，可以先适当证明一下“奔驰定理”，然后再使用这个定理，这样的话，在解题当中，就能够拿满分啦。

二、和奔驰定理有关的结论

“奔驰定理”不是单一的定理，这个定理还有一些其他的变式，大家记住这些变式定理，那么在涉及到相应题型的时候，都可以很快速的解答。

1、奔驰定理的推论

这个定理的含义，就是相应的三角形面积之比，就是对应边向量的系数之比。直接记住结论，选择题、填空题直接秒杀填答案就行。

2、有此定理可得三角形四心向量式

重心：三角形顶点与对边中点的连线交于一点 称为三角形重心。

中心：正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，称为正三角形的中心。

奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一！！！

3、几何圆里面的奔驰定理

这个图形就很完美了，和奔驰车标相差无几。同时，相应的角和边的关系，在向量的应用下，也一目了然，记住这个结论，做题的速度就会飞起来！

4、三角形“四心”的相关向量问题

一．知识梳理：

四心的概念介绍：

(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1；

(2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；

(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；

(4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

案例和例题分析：

l 四心的相互关系

三、和奔驰定理有关的题目

例1：

思考过程：这个题目，猛地一看，不是“奔驰定理”的原版，那么就需要简单的化简一下。通过移项、运算、化简，就得到了完美的“奔驰定理”，然后注意每一个边前面的系数，以及所对应的三角形的面积，通过运算系数之间的关系，就可以轻松解出答案。

注意，对很多数学题目来说，都要经过“化简”这一个步骤，化简的思想很重要啊！