高中数学点差法的例题（定比点差法及其应用）
高中数学点差法的例题（定比点差法及其应用）上，则有若点在有心二次曲线定比分点坐标公式：若点，，，则点的坐标为二、点差法点差法其实可以看作是方程的相减，是对方程的一个巧妙的处理。
一、定比分点
若
当
当
定比分点坐标公式：若点，，，则点的坐标为
二、点差法
点差法其实可以看作是方程的相减，是对方程的一个巧妙的处理。
若点在有心二次曲线
上，则有
两式作差得
此即有心二次曲线的垂径定理，可以解决与弦的中点相关的问题．
1、弦的中点
点差法一个妙用：
例1 已知椭圆 ，直线 交椭圆于 两点， 为 的中点，求证： 为定值。
分析 用常规方法设直线也可以解决，但是计算就很繁杂，在这里使用点差法。
解 设 ， ，
在椭圆上： ，
作差得：
即： ，
因为
所以 ，为定值。
以上结论与弦的中点有关，也称为垂径定理。
考虑当椭圆为圆的时候， ，则 ， ，正好也符合圆的“垂径定理”。
在双曲线中 同样有类似的结论，但定值为 ，在这里就不再推导了。
2、弦上的定比分点
当弦上的点不再是中点时，就成了定比分点：
设 ， ， ，则 点坐标可以表示为：
，
证明 设 ， ，化简可得：
，同理
这时候就出现了 这样形式的式子。
如果再凑出 ，可能大家就会有点感觉了：
可以将椭圆的方程乘上一个 再作差，得到这样的式子。
因此我们想到了“定比点差法”这样的技巧。
例2 已知椭圆 ， 在椭圆外，过 作直线 交椭圆于 两点， 在线段 上且满足： ，求证：点 在定直线上。
分析 按照以上思路，要出现 和 这样的式子，很容易想到设 的坐标，再表示出 的坐标。
解 设 ， ， ，
则 ，结合图形得：
则 ，
在椭圆上： ①， ②
得：
即
，所以 在定直线 上。
下面介绍定比点差法：
若点在有心二次曲线上，则有
两式作差得
这样就得到了
例7、过异于原点的点
证明：直接运用定比点差法即可．
设，则有
例8、已知椭圆
解析：设，，则
．
于是
，于是
又因为点在椭圆上，所以有
两式相减得
将(1)代入(2)中得到
由(1)(3)解得
从而解得的取值范围为
，于是的取值范围为
．
例9、设
证明：设，，，则
例10、已知椭圆
解析：因为
设，，则
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