小学奥数几何金字塔（平面几何的常见模型）
小学奥数几何金字塔（平面几何的常见模型）三角形ACD与三角形BCD面积相等，反之， 3.夹在一组平行线之间的等积变换，如图1， 1.等底等高，两个三角形（平行四边形）的面积相等。 2.两个三角形（平行四边形）底相等，面积之比等于高之比； 两个三角形（平行四边形）高相等，面积之比等于底之比。
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今天要给大家介绍的是平面几何中常见模型之一《等积模型》。
首先，我们来了解一下相关概念和定理
1.等底等高，两个三角形（平行四边形）的面积相等。
2.两个三角形（平行四边形）底相等，面积之比等于高之比；
两个三角形（平行四边形）高相等，面积之比等于底之比。
3.夹在一组平行线之间的等积变换，如图1，
三角形ACD与三角形BCD面积相等，反之，
三角形ACD与三角形BCD面积相等，可知
AB与CD平行。
4.等底等高，三角形面积与平行四边形面积之比为1：2。
5.长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形。
图1
对于定理1、2、4、5，相信同学们都很
容易理解，主要给大家证明一下定理3。
证明：根据题目条件知道AB//CD（//表示平行的意思）
则，三角形ACD与三角形BCD的高相等，我们知道，
高就是由顶点向底边做垂线，而三角形ACD与三角形BCD
的顶点均在直线AB上，底边均在直线CD上，由此得出
两个三角形的高相等，同时两个三角形共底，因此得出
三角形ACD与三角形BCD面积相等。
正向的证明就到这里了，那么逆向证明你知道吗？
若知道两个三角形面积相等，怎么证明两直线平行呢？
开动你的小脑瓜思考一下吧！！！
本期的模型在考试中非常有用，熟练掌握能够大大的提高解题效率。
本期内容就到这里了，下期我们继续介绍平面几何的相关模型。
昨天的作业同学们完成的怎么样？
提示：共底的两三角形面积相等，则两三角形的高相等，
进而得出AB与CD两直线平行。
今天要和同学们介绍的是平面几何中另一个常见的模型
——鸟头模型
首先，同学们需要知道一个概念：共角三角形
什么是共角三角形呢？
当两个三角形中，有一个角相等或互补时，则称这两个
三角形为共角三角形。
如图1，三角形ABC与三角形ADE为共角三角形（共角）
图 1
如图2，三角形ABC与三角形ADE为共角三角形（互补）
图 2
则：
以上就是我们今天要介绍的《鸟头模型》。
下面我将以图1为例，为同学们证明该等式成立的正确性，具体步骤如下：
证明：证明该等式之前，需要向同学们补充一个知识点。
我们平时在计算三角形的面积公式时，采用的方法是，
底乘以高除以2，今天老师要向同学们补充一个用正弦值
求三角形面积的公式，以图1为例，三角形的面积等于
(bcSinA)/2。其中，SinA表示角A的正弦值，bc分别表示角B和角C对应边的长度。
因此，三角形ABC的面积可以表示为(bcSinA)/2
三角形ADE的面积可以表示为(deSinA)/2
所以，三角形ABC与三角形ADE的面积之比等于bc:de
而bc=（AC*AB）de=(AD*AE)，证毕。
那么上述的等式就证明完成了。
图2的证明过程留给同学们课后完成。
提示：互补角的正弦值相等。
我们在介绍平面几何相关模型时，不只是介绍一个公式或一个定理，主要是训练同学们的逻辑推理能力，证明过程，这不但是小升初阶段的一个重要能力，在初中，高中的学习中，其重要性更加明显，因此同学们一定要自己动起来哦。
上次留给同学们的问题，根据老师给的提示，
证明起来并不难，相信同学们都能够顺利完成。
根据提示，很容易得出：Sin角DAE=Sin角BAC，
（因为角DAE加角BAC等于180°，两角互补）
后续的证明步骤和上节课（图1）的证明步骤一样。
这节课继续向同学们介绍平面几何的常见模型，
今天要介绍的平面几何模型是——《蝶形模型》
前面两天和同学们介绍的都是和三角形有关的模型
今天这个蝶形模型也不例外，蝶形模型给出了任意四边形中，
由两对角线分成的四个三角形面积之间的关系。
首先，向同学们介绍一下蝶形模型的相关定理，
然后，再选择一个定理进行证明。
定理1：三角形1与三角形2的面积之比等于三角形4与三角形3的面积之比
根据比与比例中，两外项之积等于两內项之积，可以得出1、3两三角形的面积乘积等于2、4两三角形面积乘积。
定理2：OA:OC=(1、2两三角形的和)：（3、4两三角形的和）
接下来，老师将对定理1进行证明，步骤如下：
证明：首先要向同学们补充一个知识点：对顶角相等
对顶角是由两条直线交叉形成的，如图1中的角O1与角O3
为对顶角，角O2与角O4为对顶角。
那么我们就可以知道，O1与O3的正弦值相同，即SinO1=SinO3
同理，角O2与角O4也是一样。
三角形1的面积等于OA.OBSinO1 三角形2的面积等于OA.ODSinO2
三角形3的面积等于OD.OCSinO3 三角形4的面积等于OC.OBSinO4.
根据互补角、对顶角正弦值相等，得出SinO1= SinO2= SinO3= SinO4
因此对比三角形1与三角形3的乘积与三角形2与三角形4的乘积的大小
只需要比较前面系数乘积的大小即可，而三角形1、3的乘积系数为：OA.OB.OC.CD
三角形2、4的乘积系数为：OA.OB.OC.CD，因此可知：三角形1、3的乘积
等于三角形2、4的乘积。证毕。
定理2的证明类似，留给同学们课后自己完成。
知识拓展：
若四边形为梯形，则可以得到以下相关定理：
S1、S2、S3、S4分别为三角形1、2、3、4的面积，
ab为梯形的上下底的长度。
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