初中数学一元一次方程总结:十九初中数学之
初中数学一元一次方程总结:十九初中数学之aX^2 bX c=0(a≠0)1、公式法:(适用于一般式方程中)②顶点式:a(X-m)^2-n=0(a≠0且a、m、n为常数)③交点式:a(X-m)(X-n)=0(a≠0且a、m、n为常数)二、解一元二次方程(常用的基本求解方法)
一、一元二次方程的概念
1、例如,方程X^2 2X=0、(X-1)^2-3=0等等,这样两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2次的方程叫做一元二次方程。能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根)。
2、一元二次方程的形式:(一般式、顶点式、交点式)(便于求解一元二次方程的根或者利用其来解决各种问题)
①一般式:aX^2 bX c=0(a≠0且a、b、c为常数)(通常按照未知数的次数从高到低排列,即:二次项、一次项、常数项)
②顶点式:a(X-m)^2-n=0(a≠0且a、m、n为常数)
③交点式:a(X-m)(X-n)=0(a≠0且a、m、n为常数)
二、解一元二次方程(常用的基本求解方法)
1、公式法:(适用于一般式方程中)
aX^2 bX c=0(a≠0)
X^2 b/aX c/a=0
X^2 b/aX=-c/a
X^2 b/aX (b^2/4a^2)=(b^2/4a^2)-c/a=(b^2-4ac/4a^2)
(X b/2a)^2=(b^2-4ac/4a^2)
解得:X=(-b±√b^2-4ac)/2a(a≠0且a、b、c为常数)
2、配方法:(也就是化成顶点式)
例如:X^2 b/aX=-c/a(a≠0且a、b、c为常数)
X^2 b/aX (b^2/4a^2)=(b^2/4a^2)-c/a=(b^2-4ac/4a^2)
(X b/2a)^2=(b^2-4ac/4a^2)
3、开平方法:(直接开平方)
例如:(X b/2a)^2=(b^2-4ac/4a^2),X=(-b±√b^2-4ac)/2a(a≠0且a、b、c为常数)
4、因式分解法:(也就是化成交点式)
例如:X^2 b/aX c/a=0(a≠0且a、b、c为常数)
根据其两根公式,可以得到:[X (-b √b^2-4ac)/2a][X (-b-√b^2-4ac)/2a]=0。
三、#韦达定理#(根与系数的关系)与根的判别式(求根公式的理解)
1、我们从一元二次方程aX^2 bX c=0(a≠0且a、b、c为常数)的求根公式中可以看出,方程的根的情况由代数式(b^2-4ac) 的值来决定,具体情况如下:
①当b^2-4ac>0时,一元二次方程aX^2 bX c=0(a≠0且a、b、c为常数)有两个不相等的实数根。
②当b^2-4ac=0时,一元二次方程aX^2 bX c=0(a≠0且a、b、c为常数)有两个相等的实数根。
③当b^2-4ac<0时,一元二次方程aX^2 bX c=0(a≠0且a、b、c为常数)没有实数根。
2、一般地,设X₁、X₂是一元二次方程的aX^2 bX c=0(a≠0且a、b、c为常数)的两根,X₁=(-b √b^2-4ac)/2a,X₂=(-b-√b^2-4ac)/2a。
那么,X₁ X₂=(-b √b^2-4ac)/2a (-b-√b^2-4ac)/2a=-b/a;
X₁×X₂=(-b √b^2-4ac)/2a ×(-b-√b^2-4ac)/2a=[b^2-(b^2-4ac)]/4a^2=c/a。(a≠0且a、b、c为常数)
我们把一元二次方程根与系数的关系称为#韦达定理#。
方程思想是数学思想中最重要的思想之一