高数用拉格朗日定理证明不等式，应用拉格朗日中值定理

高数用拉格朗日定理证明不等式，应用拉格朗日中值定理f'(ξ)=(lnb-lna)/(b-a)=1/ξ由拉格朗日中值定理知，存在一点ξ∈(a b)，使得从而知道在(a b)上存在一个点ξ，使得f'(ξ)=(lnb-lna)/(b-a)，而lnx的导数是1/x，所以f'(ξ)=1/ξ 从而有(lnb-lna)/(b-a)=1/ξ. 又1/b<1/ξ<1/a，所以1/b<(lnb-lna)/(b-a)<1/a 不等式同时乘以(b-a)，就可以得到(b-a)/a<ln(b/a)<(b-a)/a. 第一个不等式证明过程如下：(1)证：ln(b/a)=lnb-lna；记f(x)=lnx 则f(x)在[a b]上连续 在(a b)上可导

大家好！今天老黄要利用拉格朗日中值定理来证明两个比较重要的不等式，这两个不等式在以后的学习中可能会用到，所以一定要把它们理解并且记起来哦。这两个不等式分别如下：

(1)(b-a)/a<ln(b/a)<(b-a)/a 其中0<a<b；(2)h/(1 h^2)<arctanh<h 其中h>0.

第一个不等式可以理解为：假分数的自然对数，大于1减去这个假分数的倒数，小于这个假分数减去1。当然，这里的b/a未必就是 分数，它还有可能是一个无理数。我们这样说，只是为了记忆起来方便罢了。

观察这个不等式，中间的自然对数可以写成：两个自然对数的差lnb-lna。因此，我们可以考虑取自然对数为辅助函数，而自然对数函数在[a b]上是连续的，在(a b)上是可导的，这就符合拉格朗日中值定理的条件了。

从而知道在(a b)上存在一个点ξ，使得f'(ξ)=(lnb-lna)/(b-a)，而lnx的导数是1/x，所以f'(ξ)=1/ξ 从而有(lnb-lna)/(b-a)=1/ξ. 又1/b<1/ξ<1/a，所以1/b<(lnb-lna)/(b-a)<1/a 不等式同时乘以(b-a)，就可以得到(b-a)/a<ln(b/a)<(b-a)/a. 第一个不等式证明过程如下：

(1)证：ln(b/a)=lnb-lna；

记f(x)=lnx 则f(x)在[a b]上连续 在(a b)上可导

由拉格朗日中值定理知，存在一点ξ∈(a b)，使得

f'(ξ)=(lnb-lna)/(b-a)=1/ξ

又1/b<1/ξ<1/a，所以1/b<(lnb-lna)/(b-a)<1/a

所以(b-a)/a<ln(b/a)<(b-a)/a.

第二个不等式可以理解为：正数的反正切函数值小于正数本身，又大于1加上这个正数的平方分之这个正数。用自己的语言说一说，能够有效地帮助理解和记忆。

这次我们要构造的辅助函数是反正切函数。它在[0 h]上连续，在(0 h)上可导，因此根据拉格朗日中值定理就可以知道，在(0 h)上存在一个点ξ，使得f'(ξ)=(arctanh-arctan0)/(h-0)=arctanh/h. 又反正切函数arctanx的导数为1/(1 x^2)，所以f'(ξ)=1/(1 ξ^2). 而1/(1 h^2)<(1 ξ^2)<1 所以1/(1 h^2)<arctanh/h<1 两边同时乘以h，就可以得到要证明的不等式了。第二个不等式证明过程如下：

(2)证：记f(x)=arctanx 则f(x)在[0 h]上连续 在(0 h)上可导

由拉格朗日中值定理知，存在一点ξ∈(0 h)，使得

f'(ξ)=arctanh/h=1/(1 ξ^2).

又1/(1 h^2)<(1 ξ^2)<1 所以1/(1 h^2)<arctanh/h<1

所以h/(1 h^2)<arctanh<h.

我们不仅要记住这两个不等式，还要理解它的证明过程哦。