数学高考三角函数的解题技巧：辅助角公式在高考三角题中的应用
数学高考三角函数的解题技巧：辅助角公式在高考三角题中的应用来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(，（*）其中θ由的平方和为1，故可记=cosθ，=sinθ，则由此我们得到结论：asinx bcosx=
对于形如y=asinx bcosx的三角式，可变形如下：
y=asinx bcosx
。由于上式中的
与
的平方和为1，故可记=cosθ，=sinθ，则
由此我们得到结论：
asinx bcosx=
，（*）其中θ由
来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(
) k的形式。
下面就辅助角公式的应用，举例分类简析。
一. 求周期
例1、求函数
的最小正周期。解：
所以函数y的最小正周期T=π。
将三角式化为y=Asin(
) k的形式，是求周期的主要途径。
二. 求最值
例2. 已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。若
，求f(x)的最大值和最小值。解：f(x)=(cos2x sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=
。由
。当
，即x=0时，
最小值
；当
时取最大值1。从而f(x)在
上的最大值是1，最小值是
。
三. 求单调区间
例3. 已知向量
，
，令
，求函数f(x)在[0，π]上的单调区间。解：
先由
。反之再由
。所以f(x)在
上单调递增，在
上单调递减。
以向量的形式给出条件或结论，是近两年来三角命题的新趋势，但最终仍要归结为三角式的变形问题。而化为y=Asin(ωx ) k的形式，是求单调区间的通法。
四. 求值域
例4. 求函数
的值域。解：
所以函数f(x)的值域是[-4，4]。
五. 画图象
例5. 已知函数f(x)=2sinx(sinx cosx)，画出函数y=f(x)在区间
上的图象。解：
由条件
。
列表如下
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
| ||
|
|
2 |
1 |
|
1 |
|
2 |
描点连线，图象略。
六. 图象对称问题
例6. 如果函数y=sin2x acos2x的图象关于直线x=对称，那么a=
（A）
（B）
（C）1
（D）-1
解：可化为
知
时，y取得最值
，即
七. 图象变换
例7、已知函数
该函数的图象可由
的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：
可将函数y=sinx的图象依次进行下述变换：
（1）向左平移
，得到y=sin(x )的图象；（2）将（1）中所得图象上各点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得y=
的图象；
（3）将（2）中所得图象上各点纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得y=sin(2x )的图象；
（4）将（3）中所得图象向上平移
个单位长度，得到y=sin(2x ) 的图象。综上，依次经过四步变换，可得y=
的图象。
八. 求值
例8. 已知函数f(x)=
sinxcosx。设α∈（0，π），f(
)=
，求sinα的值。解：f(x)=
=sin
。由f=sin(
)
，得sin=
。又α∈（0，π）
。而sin
，故α
，则cos(α )=
。sinα=sin[
]=sin
=
=
。
化为一种角的一次式形式，可使三角式明晰规范。在求sinα时，巧用凑角法：α=（α ）-，并且判断出α 的范围，进而求出cos(α )的确切值，使整个求值过程方向明确，计算简捷。
九. 求系数
例9. 若函数f(x)=
的最大值为2，试确定常数a的值。解：f(x)=
=
=
，其中角由sin=
来确定。由已知有
，解得a=
。
十. 解三角不等式
例10. 已知函数f(x)=sin2x sin2x，x
，求使f(x)为正值的x的集合。
解：f(x)=1-cos2x sin2x
=1
。由f(x)＞0，有sin
2x-
则得2kπ-
，故kπ＜x＜kπ
。再由x
[0 2π]，可取k=0，1，得所求集合是
。
