数学历年高考真题大题解析几何（一道1963年高考数学真题）

数学历年高考真题大题解析几何（一道1963年高考数学真题）当2sinx 1=0时，sinx=-0.5，则x=2kπ 7π/6或者x=2kπ-π/6。当cos2x=0时，2x=kπ π/2，从而解出x的取值。解法一：和差化积和差化积与积化和差是以前三角恒等变换的重要内容，但是现在已经被移除了人教版高中数学教材，那么我们先看一下和差化积的公式：根据上面的公式，很明显可以将sin3x和sinx进行处理，得到2cos2xsinx，然后再提公因式cos2x，得到cos2x(2sinx 1)=0，即cos2x=0或2sinx 1=0。

大家好！本文和大家分享一道1963年全国高考的数学真题。

1963年高考的时间为7月15日、16日、17日共三天，而当年的数学卷共有10道大题，每题10分，满分100分。题量虽然不大，但是10道题全部是解答题，考生连蒙的机会都没雨。

本文分享的是当年数学卷的第6题，解方程：sin3x-sinx cos2x=0。

对于现在的学生来说，这道题的难度还是非常大的，甚至拿到班上让高三学生做了一下，不少学霸都懵了，能做出来的只有极少数。下面介绍本题的3种解法供大家参考。

解法一：和差化积

和差化积与积化和差是以前三角恒等变换的重要内容，但是现在已经被移除了人教版高中数学教材，那么我们先看一下和差化积的公式：

根据上面的公式，很明显可以将sin3x和sinx进行处理，得到2cos2xsinx，然后再提公因式cos2x，得到cos2x(2sinx 1)=0，即cos2x=0或2sinx 1=0。

当cos2x=0时，2x=kπ π/2，从而解出x的取值。

当2sinx 1=0时，sinx=-0.5，则x=2kπ 7π/6或者x=2kπ-π/6。

解法二：三倍角公式和二倍角公式

题目中出现了三倍角和二倍角，所以直接先用三倍角公式和二倍角公式进行变换。

三倍角正弦公式：sin3x=3sinx-4(sinx)^3；

二倍角余弦公式：cos2x=(cosx)^2-(six)^2=2(cosx)^2-1=1-2(sinx)^2。

因为三倍角正弦变换后都是正弦，且题目中还有sinx，所以cos2x也就用含正弦的那个形式。最后化简得到：

(2sinx 1)[2(sinx)^2-1]=0，即2sinx 1=0或者2(sinx)^2-1=0。

对于2(sinx)^2-1=0，可以利用倍角公式化为cos2x=0来计算，也就是同解法一。还可以直接解出sinx的值，进而求出x的值。

解法三：两角和正弦公式、倍角公式

在不知道和差化积和三倍角公式的情况下，可以先用两角和的正弦公式对3x进行处理。

即sin3x=sin(x 2x)=sinxcos2x cosxsin2x=sinxcos2x cosx·2sinxcosx=sinxcos2x sinx·2(cosx)^2。

处理到这一步后，再将sinx·2(cosx)^2和sinx作为一组进行变换，即：sinx·2(cosx)^2-sinx=sinx[2(cosx)^2-1]=sinxcos2x。这样一来，再提公因式cos2x就得到：cos2x(2sinx 1)=0。后面的解法就同解法一了。

对于现在的学生来说，他们没有学习和差化积和三倍角公式，所以这道题的难度就在于对3x这个三倍角的处理，也是难住不少学霸的地方。