函数图像每日必背（一次函数图像应用拓展篇）

威哥 2023-05-16 07:22:08 560

函数图像每日必背（一次函数图像应用拓展篇）A．x≥﹣2 B．x≤3 C．x≤﹣2 D．x≥3变式1（2018•徐州二模）已知一次函数y＝kx b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣4）﹣2b≥0的解集为（）【分析】结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．【解答】观察图象知：当x＞﹣2时，kx b＞4，故选：A．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据函数的图象进行解答．

利用一次函数的图像解决问题，关键是要读懂并理解函数图像所表达的意义，下面举例说明一次函数图像在求有关取值（范围）问题时的应用，供参考。

类型1 利用一次函数图像信息求一元一次不等式解集

例1．（2018•葫芦岛）如图，直线y＝kx b（k≠0）经过点A（﹣2，4），则不等式kx b＞4的解集为（）

函数图像每日必背（一次函数图像应用拓展篇）(1)

A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞4 D．x＜4

【分析】结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．

【解答】观察图象知：当x＞﹣2时，kx b＞4，故选：A．

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据函数的图象进行解答．

变式1（2018•徐州二模）已知一次函数y＝kx b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣4）﹣2b≥0的解集为（）

函数图像每日必背（一次函数图像应用拓展篇）(2)

A．x≥﹣2 B．x≤3 C．x≤﹣2 D．x≥3

【解答】把（3，0）代入y＝kx b得3k b＝0，则b＝﹣3k，

所以k（x﹣4）﹣2b≥0化为k（x﹣4） 6k≥0，

因为k＜0，所以x﹣4 6≤0，所以x≤﹣2．故选：C．

【方法规律】一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

函数图像每日必背（一次函数图像应用拓展篇）(3)

类型2 利用一次函数图像信息求一元一次不等式组解集

例2.（2018春•寿光市校级月考）如图，直线y1＝kx b过点A（0，2），且与直线y2＝mx交于点P（1，n），则不等式组mx＜kx b＜2的解集是．

函数图像每日必背（一次函数图像应用拓展篇）(4)

【分析】根据两函数图象的交点坐标的横坐标即可确定不等式组mx＜kx b＜2的解集；

【解答】观察图象得：当x＜1时，直线y2＝mx的图象在直线y1＝kx b的下方，∴mx＜kx b＜2的解集是：0＜x＜1，故答案为：0＜x＜1．

【点评】本题主要考查了根据图形确定k、b与m的关系，从而通过解不等式组得到其解集．

变式2-1（2018•十堰）如图，直线y＝kx和y＝ax 4交于A（1，k），则不等式kx﹣6＜ax 4＜kx的解集为．

函数图像每日必背（一次函数图像应用拓展篇）(5)

【解答】如图，由y＝kx﹣6与y＝ax 4得OB＝4，OC＝6，

∵直线y＝kx平行于直线y＝kx﹣6，

∴BA/AD=BO/OC=4/6=2/3，

分别过A，D作AM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，

则AM∥DN∥y轴，∴OM/MN=BA/AD=2/3，

∵A（1，k），∴OM＝1，∴MN＝3/2，∴ON＝5/2，

∴D点的横坐标是5/2，∴1＜x＜5/2时，kx﹣6＜ax 4＜kx，

故答案为：1＜x＜5/2．

函数图像每日必背（一次函数图像应用拓展篇）(6)

2-2．（2018•资阳中考题）已知直线y1＝kx 1（k＜0）与直线y2＝mx（m＞0）的交点坐标为（1/2，1/2m），则不等式组mx﹣2＜kx 1＜mx的解集为（）

A．x＞1/2B．1/2＜x＜3/2C．x＜3/2D．0＜x＜3/2

【解答】把（1/2，1/2m）代入y1＝kx 1，可得

1/2m＝1/2k 1，解得k＝m﹣2，∴y1＝（m﹣2）x 1，

令y3＝mx﹣2，则当y3＜y1时，mx﹣2＜（m﹣2）x 1，解得x＜3/2；

当kx 1＜mx时，（m﹣2）x 1＜mx，解得x＞1/2，

∴不等式组mx﹣2＜kx 1＜mx的解集为1/2＜x＜3/2，故选：B．

函数图像每日必背（一次函数图像应用拓展篇）(7)

类型3 由两直线交点状况求参数取值范围

例3．（2018春•孟津县期中）直线y＝﹣3x m与直线y＝2x 3的交点在第二象限，则m的取值范围是（）

A．﹣9/2＜m＜3 B．m＞-9/2

C．m＜3 D．m＜3或m＞-9/2

【常规解法】首先联立解方程组求得交点的坐标，再根据交点在第二象限列出不等式组，从而求得m的取值范围．根据题意，得﹣3x m＝2x 3，

解得x＝（m-3）/5，则y＝(2m-6)/5 3．

又交点在第二象限，则x＜0，y＞0，

即（m-3）/5＜0，(2m-6)/5 3＞0，

解得﹣9/2＜m＜3.故选：A．

【点评】考查了两条直线相交或平行问题，能够根据二元一次方程组求两条直线的交点，同时根据所在象限的位置确定字母的取值范围．

【巧妙解法】直线y＝2x 3与y轴交点为（0，3），与x轴交点为（-1.5 0），而直线y＝﹣3x m表示平行于y=3x的一系列直线，m表示截距，大小为直线与Y轴交点的纵坐标，直线y＝﹣3x m一系列直线族中经过两个极端位置是（0，3），（-1.5 0），代入y＝﹣3x m可求得m=-4.5 m=3 通过观察图像不难得到m的取值范围是﹣9/2＜m＜3.故选：A．

变式3．（2018•惠民县一模）在同一平面坐标系内，若直线y＝3x﹣1与直线y＝x﹣k的交点在第四象限的角平分线上，则k的值为（）

A．k＝﹣1/2B．k＝1/3C．k＝1/2D．k＝1

函数图像每日必背（一次函数图像应用拓展篇）(8)

函数图像每日必背（一次函数图像应用拓展篇）(9)

类型4 多一次函数的最值问题

例4.如图，已知直线y1＝x，y2＝﹣x 2，y3＝1/2x 1的图象如图所示，无论x取何值，y总取y1、y2、y3中的最大值，则y的最小值为．

函数图像每日必背（一次函数图像应用拓展篇）(10)

【分析】利用两直线相交的问题，分别求出三条直线两两相交的交点，然后观察函数图象，利用一次函数的性质易得当x≤2/3时，y2最大；当2/3＜x＜2时，y3最大；当x≥2时，y1最大，于是可得满足条件的y的最小值．

【解答】直线y1＝x与直线y2＝﹣x 2的交点坐标为（1，1），直线y2＝﹣x 2与直线y3＝1/2x 1的交点坐标为（2/3，4/3），直线y1＝x与直线y3＝1/2x 1的交点坐标为（2，2），所以当x≤2/3时，y2最大；当2/3＜x＜2时，y3最大；当x≥2时，y1最大，所以y的最小值为4/3．故答案为4/3．