怎么判断直线与抛物线的交点个数（二次函数抛物线与直线的交点问题）

怎么判断直线与抛物线的交点个数（二次函数抛物线与直线的交点问题）例1、回忆一下平面直角坐标系中，x轴和y轴的交点，这个应该没问题吧？就是（0，0）下面我争取由浅入深地把原理和方法讲明白。三、不明白原理，大概知道是这个方法，但是这类同学不知道怎么写过程，其实本质上是因为对方法的理解流于记笔记，因此缺乏灵活应用；四、我啥都不知道，这是我该做的题吗？好，二、三、四类的同学，建议看看这篇文章。

话不多说，先上一道常见的相关大题：

对于这道题大概有四类同学：

一、明白原理，也知道方法，秒做，这类同学可以不看这篇文章；

二、不明白原理，但知道方法，这类同学是：虽然我不是很明白为什么，但肯定是这么做的，答案也是对的；

三、不明白原理，大概知道是这个方法，但是这类同学不知道怎么写过程，其实本质上是因为对方法的理解流于记笔记，因此缺乏灵活应用；

四、我啥都不知道，这是我该做的题吗？

好，二、三、四类的同学，建议看看这篇文章。

下面我争取由浅入深地把原理和方法讲明白。

例1、回忆一下平面直角坐标系中，x轴和y轴的交点，这个应该没问题吧？就是（0，0）

那么除了凭经验这是（0，0），我们怎么写步骤呢？

要写步骤就要搞明白原理，原理就是x轴的本质是直线y=0，y轴的本质是直线x=0（这一点很容易背忽略）x轴和y轴的本质是具有解析式的直线，因此x轴和y轴的交点，就是直线y=0和直线x=0的交点，这两条直线联立即得交点。

例2、同理可得，直线y=x 1与x轴的交点，本质就是直线y=x 1与直线y=0的交点。

而一般情况下，老师讲课或者同学听课，经常这里会说/听到的是令y=0，为什么是令y=0，难道只是单纯的为了凑一个一元一次方程吗？

当然不是，直线与直线的交点，本质永远是联立解析式，形成二元一次方程，然后求解方程得到x y的值，从而得到交点坐标。

例3、两条直线的交点，即是联立两条直线的解析式，求交点坐标。

而这里要注意的是，在解二元一次方程的过程中，为什么我们总是会第一步得到一个关于x的一元一次方程？然后解得x 再带入任何一个直线解析式（即某一个二元一次方程），解得y值。

很简单，因为这里就是一个标准的代入消元的模式啊！y=……，和y=……的模式，如果只是单纯的解方程，我相信大家不会有疑惑，就是把方程1带入方程2消元这么简单。

从例1-例3，有一个点总结一下：所有求出的x均为横坐标。

例4、二次函数与x轴的交点，同理也是联立。

注意这里把方程2代入方程1之后，就得到了一个一元二次方程，解出来的x1和x2就是交点的横坐标，纵坐标只需要看方程2就可以，不管横坐标是啥，都是y=0。

例5、我们这下来看开篇的例题

求二次函数与x轴的交点，那就联立二次函数解析式与直线y=0求解即可，而由于纵坐标只需要看方程2就可以，不管横坐标是啥，都是y=0，。

那么，交点存不存在，以及有几个，就只跟横坐标x存不存在，有几个有关系了。

而x存不存在，有几个，本质上就是把方程1代入方程2之后所得的方程3的根x存不存在，有几个的问题。

于是这就落脚到是>0 =0 <0的关系。

（建议第三、四类同学，先跳过第二问的这部分内容，直接跳到下面的例6去看，第二问的目的就是求出了二次函数的解析式)

而第二问，AB两点之间的距离，由于纵坐标相等，那么AB的距离就等于横坐标之差的绝对值。

做到这里，就需要能够联想根与系数的关系

通过完全平方和与完全平方差的转化，就能得到一个关于m的一元二次方程，然后求解m即可。

例6、我们直接看例题的第三问

在已经求出二次函数解析式的情况下，（3）问的本质其实是问你，【抛物线与直线y=x b的交点只有两个时，b的取值范围】。

同学们，做到这里，其实此类题型的原理和方法已经很明显了。

那就是，一定要形成一个思想，不管什么线与什么线的交点，都是通过联立他们的解析式来求交点，而联立之后用代入消元，得到一个关于x的方程，这里求出的x就是交点的横坐标。

而交点的存在与否，有几个这种问题，只跟横坐标有关，跟纵坐标基本没啥关系，因为你想，你横坐标都有了，纵坐标还远吗？

就比如说统计一栋楼有多少户人家，是不是只需要出一个户主就可以了？没有谁会要求你一家从老到小都必须齐齐整整的到齐对不对？

最后附上此思路下完整的解题步骤如下：

以上是笔者教学中的观察总结，如有不当欢迎指正~也欢迎在评论区留言，分享你的看法，我会不定期随机回复~谢谢~

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