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怎么判断直线与抛物线的交点个数(二次函数抛物线与直线的交点问题)

怎么判断直线与抛物线的交点个数(二次函数抛物线与直线的交点问题)例1、回忆一下平面直角坐标系中,x轴和y轴的交点,这个应该没问题吧?就是(0,0)下面我争取由浅入深地把原理和方法讲明白。三、不明白原理,大概知道是这个方法,但是这类同学不知道怎么写过程,其实本质上是因为对方法的理解流于记笔记,因此缺乏灵活应用;四、我啥都不知道,这是我该做的题吗?好,二、三、四类的同学,建议看看这篇文章。

话不多说,先上一道常见的相关大题:

怎么判断直线与抛物线的交点个数(二次函数抛物线与直线的交点问题)(1)

对于这道题大概有四类同学:

一、明白原理,也知道方法,秒做,这类同学可以不看这篇文章;

二、不明白原理,但知道方法,这类同学是:虽然我不是很明白为什么,但肯定是这么做的,答案也是对的;

三、不明白原理,大概知道是这个方法,但是这类同学不知道怎么写过程,其实本质上是因为对方法的理解流于记笔记,因此缺乏灵活应用;

四、我啥都不知道,这是我该做的题吗?

好,二、三、四类的同学,建议看看这篇文章。

下面我争取由浅入深地把原理和方法讲明白。

例1、回忆一下平面直角坐标系中,x轴和y轴的交点,这个应该没问题吧?就是(0,0)

那么除了凭经验这是(0,0),我们怎么写步骤呢?

要写步骤就要搞明白原理,原理就是x轴的本质是直线y=0,y轴的本质是直线x=0(这一点很容易背忽略)x轴和y轴的本质是具有解析式的直线,因此x轴和y轴的交点,就是直线y=0和直线x=0的交点,这两条直线联立即得交点。

怎么判断直线与抛物线的交点个数(二次函数抛物线与直线的交点问题)(2)

例2、同理可得,直线y=x 1与x轴的交点,本质就是直线y=x 1与直线y=0的交点。

而一般情况下,老师讲课或者同学听课,经常这里会说/听到的是令y=0,为什么是令y=0,难道只是单纯的为了凑一个一元一次方程吗?

当然不是,直线与直线的交点,本质永远是联立解析式,形成二元一次方程,然后求解方程得到x y的值,从而得到交点坐标

怎么判断直线与抛物线的交点个数(二次函数抛物线与直线的交点问题)(3)

例3、两条直线的交点,即是联立两条直线的解析式,求交点坐标。

而这里要注意的是,在解二元一次方程的过程中,为什么我们总是会第一步得到一个关于x的一元一次方程?然后解得x 再带入任何一个直线解析式(即某一个二元一次方程),解得y值。

很简单,因为这里就是一个标准的代入消元的模式啊!y=……,和y=……的模式,如果只是单纯的解方程,我相信大家不会有疑惑,就是把方程1带入方程2消元这么简单。

怎么判断直线与抛物线的交点个数(二次函数抛物线与直线的交点问题)(4)

从例1-例3,有一个点总结一下:所有求出的x均为横坐标。

例4、二次函数与x轴的交点,同理也是联立。

怎么判断直线与抛物线的交点个数(二次函数抛物线与直线的交点问题)(5)

注意这里把方程2代入方程1之后,就得到了一个一元二次方程,解出来的x1和x2就是交点的横坐标,纵坐标只需要看方程2就可以,不管横坐标是啥,都是y=0。

例5、我们这下来看开篇的例题

怎么判断直线与抛物线的交点个数(二次函数抛物线与直线的交点问题)(6)

求二次函数与x轴的交点,那就联立二次函数解析式与直线y=0求解即可,而由于纵坐标只需要看方程2就可以,不管横坐标是啥,都是y=0,。

那么,交点存不存在,以及有几个,就只跟横坐标x存不存在,有几个有关系了。

而x存不存在,有几个,本质上就是把方程1代入方程2之后所得的方程3的根x存不存在,有几个的问题。

于是这就落脚到是>0 =0 <0的关系。

怎么判断直线与抛物线的交点个数(二次函数抛物线与直线的交点问题)(7)

(建议第三、四类同学,先跳过第二问的这部分内容,直接跳到下面的例6去看,第二问的目的就是求出了二次函数的解析式)

而第二问,AB两点之间的距离,由于纵坐标相等,那么AB的距离就等于横坐标之差的绝对值。

做到这里,就需要能够联想根与系数的关系

通过完全平方和与完全平方差的转化,就能得到一个关于m的一元二次方程,然后求解m即可。

怎么判断直线与抛物线的交点个数(二次函数抛物线与直线的交点问题)(8)

例6、我们直接看例题的第三问

怎么判断直线与抛物线的交点个数(二次函数抛物线与直线的交点问题)(9)

在已经求出二次函数解析式的情况下,(3)问的本质其实是问你,【抛物线与直线y=x b的交点只有两个时,b的取值范围】。

怎么判断直线与抛物线的交点个数(二次函数抛物线与直线的交点问题)(10)

同学们,做到这里,其实此类题型的原理和方法已经很明显了。

那就是,一定要形成一个思想,不管什么线与什么线的交点,都是通过联立他们的解析式来求交点,而联立之后用代入消元,得到一个关于x的方程,这里求出的x就是交点的横坐标

交点的存在与否,有几个这种问题,只跟横坐标有关,跟纵坐标基本没啥关系,因为你想,你横坐标都有了,纵坐标还远吗?

就比如说统计一栋楼有多少户人家,是不是只需要出一个户主就可以了?没有谁会要求你一家从老到小都必须齐齐整整的到齐对不对?

最后附上此思路下完整的解题步骤如下:

怎么判断直线与抛物线的交点个数(二次函数抛物线与直线的交点问题)(11)

以上是笔者教学中的观察总结,如有不当欢迎指正~也欢迎在评论区留言,分享你的看法,我会不定期随机回复~谢谢~

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