运筹学的基础知识（前沿科技背后的基础科学）
运筹学的基础知识（前沿科技背后的基础科学）运筹学中另一类问题特指带有随机因素的最优化问题。它们大多具有随机模型或主要是随机模型兼有决定性模型，其中决定性模型往往可以通过规划论解决。传统上主要指排队论、存储论或库存论、维修或更新理论、作业车间排序、竞争问题、网络路由、搜索理论、决定问题等。日常生活中排队现象是大量存在的，上下班乘车、医院看病取药、商店购买东西、食堂买饭、工人修理机器、机场安排飞机降落等都存在排队的问题，怎样安排既合理又经济，这是排队论研究的主要问题。排队论模型被人们广泛用于半导体生产加工与设计、计算机通信网络、交通运输等行业，其主要特点包括输入过程、排队规则、服务机构、服务时间分布等。此外，当前随机优化还包括复杂系统可靠性、软件可靠性、供应链的优化设计、随机模拟等内容。●随机模型的运筹问题线性规划是运筹学模型、理论和算法的最典型的代表之一。它是指在决策变量满足一定约束下求一个或多个函数的极小值或者极大值。一般认为，线
■文/王 楠 王国强
运筹学作为一门关于决策的新兴交叉学科，其适用场景多为政府部门和大型企业的人、财、物等资源的合理使用。在世界各国强调使用国家战略力量的背景下，运筹学迎来了新的机遇。
运筹学的发展运筹学是为组织系统的管理者提供客观、定量的决策依据，其基本特征是系统导向、跨学科团队使用、针对具体问题的科学方法。从某种意义上讲，运筹学本身并不是一门科学，而是将科学应用于解决管理和行政问题，关注系统的整体表现多于关注系统部分的表现。早期运筹学理论主要有数学规划、组合数学、随机模型、对策论（也称博弈论）、管理科学等。
●数学规划
线性规划是运筹学模型、理论和算法的最典型的代表之一。它是指在决策变量满足一定约束下求一个或多个函数的极小值或者极大值。一般认为，线性规划随着1947年美国数学家丹齐格（George B. Dantzig）制定单形法而建立。事实上，之前已有很长的历史。早在1781年，法国数学家蒙日（Gaspard Monge）在研究筑城术时提出开挖与填充问题，即如何运输挖出来的土，使重量与运程的乘积为极小。1884年，法国数学家阿佩尔（Paul Appell）证明了蒙日的猜想。线性规划所涉及的数学问题是解线性不等式，数学家傅立叶（Joseph Fourier）、高斯（Carl F. Gauss）等都曾进行过研究。1939年，苏联数学家、经济学家坎托罗维奇（Leonid V. Kantorovich）在《生产组织与计划中的数学方法》一书中提出线性规划问题最初解法，但未受到重视。20世纪40年代，荷兰经济学家库普曼斯（Tjalling C. Koopmans）再次独立得到类似的方法，但一直到丹齐格的结果发表之后，他们的工作才受到重视，并最终荣获1975年诺贝尔经济学奖。据丹齐格说，他的单形法最初也受到一些权威的漠视，是因冯?诺伊曼（John von Neumann）的大力支持才得以广泛流传。1978年，苏联数学家哈奇扬（L. G. Khachiyan）发表椭球体算法。1984年，印度数学家卡马卡尔（Narendra Karmarkar）发表了射影标度算法。这些算法大大提高了用计算机计算的效率。现今，成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题已经可以在计算机上进行，仍然是应用最广泛的算法之一。
线性规划是比较理想的情况，一般的非线性规划尚没有一般的算法。非线性规划问题在某些条件下解存在的必要条件早在18世纪已由法国数学家拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）等提出。1951年，美国数学家库恩（T. W. Kuhn）及塔克（A. W. Tucker）对一阶可微函数情形给出解的必要条件，奠定了非线性规划的理论基础。同时，此条件在凸性假设条件下也是充分条件。由此，一类特殊的非线性规划——凸规划得到发展。自20世纪90年代中期开始，凸规划一直是国际优化领域的研究热点。
非线性规划中还有另一特殊领域是整数规划。整数规划问题由丹齐格等在1954年提出。1958年，美国数学家戈莫里（Ralph E. Gomory）首先提出系统求解整数规划方法，即割平面法。1960年，英国运筹学家兰德（A. H. Land）等又提出分支界定法，其后有相当大的改进，它不仅在许多最优化问题如旅行售货员问题、下料问题及工序安排中有重要应用，而且与数学的一些分支如数论、群论、图论的问题有密切关系。此外，还有矩阵规划、多目标规划、动态规划、向量优化、全局优化、鲁棒优化等数学规划。
●随机模型的运筹问题
运筹学中另一类问题特指带有随机因素的最优化问题。它们大多具有随机模型或主要是随机模型兼有决定性模型，其中决定性模型往往可以通过规划论解决。传统上主要指排队论、存储论或库存论、维修或更新理论、作业车间排序、竞争问题、网络路由、搜索理论、决定问题等。日常生活中排队现象是大量存在的，上下班乘车、医院看病取药、商店购买东西、食堂买饭、工人修理机器、机场安排飞机降落等都存在排队的问题，怎样安排既合理又经济，这是排队论研究的主要问题。排队论模型被人们广泛用于半导体生产加工与设计、计算机通信网络、交通运输等行业，其主要特点包括输入过程、排队规则、服务机构、服务时间分布等。此外，当前随机优化还包括复杂系统可靠性、软件可靠性、供应链的优化设计、随机模拟等内容。
●组合数学
组合问题分散在数论、代数、拓扑、几何、分析、概率、统计乃至趣味数学之中，现已公认为一门科学。不过它究竟在何时建立，仍有争议。最古老的组合问题是二项式系数的性质，直到17世纪已知它与组合问题有关。公式：
最先出现在1665年，法国数学家帕斯卡（Blaise Pascal）在《论算术三角形》一书中，将二项式系数引入概率公式中，发现了第一个计算概率的递归公式。1666年，德国数学家莱布尼茨（Gottfried W. Leibniz）首先引进组合术并进行系统研究。1730年，法国裔英国籍的数学家棣美弗（Abraham de Moivre）首次引进生成函数或母函数方法，经过瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）等的工作形成强有力组合方法，至今仍在广泛运用。欧拉等引进组合方法和一系列著名的“数”，如伯努利数、欧拉数、斯特灵数等在数学及物理一系列问题中有重要应用。18世纪到19世纪的一系列组合问题到20世纪才正式形成一门学科——组合数学。组合数学是近几十年来发展最为迅速的一个数学分支，它与分析、代数、数论、概率基础数学的多个学科有密切联系，组合结构已经成为许多数学理论不可或缺的组成部分。近年来，组合数学的思想和方法被广泛地应用在数据结构和算法分析、现代通信编码技术、区块链技术密码系统设计、基因序列比对和物种关系分析等方面。
●对策论
对策论又称为博弈论，是用数学方法来分析斗争形势的学科。对策论认为在竞争条件下，如战争、市场营销、合同竞标等场景，一个参与者的选择取决于竞争对手或其他参与者的选择，而每个参与者都企图预测其他人的可能选择，以确定自己的最佳策略。对策问题的研究由来已久。1912年，德国数学家策梅洛（Ernst Zermelo）用集合论研究国际象棋的局势。1915年，英国工程师兰切斯特（Frederick W. Lanchester）运用微分方程模拟战争中的兵力部署，这是现代军事运筹学最早提出的战争模型，该模型在1954年被用于分析美日作战，得出了与实际情况相符的结果。1921年，法国数学家博雷尔（émile Borel）用概率方法初步证明了某些对策问题存在最优策略。1928年，冯?诺依曼提出了二人零和博弈的极小极大定理。1944年，冯·诺依曼和摩根斯顿（Oskar Morgenstern）合著的《对策论和经济行为》使对策论的数学理论得以系统化和公理化，这本书的问世标志着对策论正式诞生。1950年，美国数学家纳什（John Nash）在两人或多人非合作博弈中引入了“平衡点”概念，奠定了非合作博弈的基础，纳什由此获得了1994年诺贝尔经济学奖。第二次世界大战以后，对策论在合作博弈和非合作博弈基础之外，还发展出网络博弈、微分博弈、机制设计、合作演化、算法博弈等多个分支，其应用也从军事领域拓展到社会学、政治学、经济学乃至生物学领域。
●管理科学
管理科学是将量化模型应用于管理决策的科学方法，其概念和工具多来自数学、经济学、工商管理学、心理学、社会学等学科。管理科学与运筹学有着非常紧密的关系，在20世纪60年代管理科学甚至被视为运筹学在商业领域中的应用。然而，由于学科重点和专业视角的不同，两者之间一直存在差异。例如：管理科学更加“贴近于管理”，通常采用咨询专家的思维模式，强调发现关键问题并及时做出预判；而运筹学则偏重问题的求解技术和求解过程，不太关注问题的重要性。目前，管理科学的主要分支包括决策理论、预测理论、评价理论、信息管理、风险管理、工业工程、项目管理和应急管理等。
应急管理是近年来管理科学研究的热点之一，主要围绕非常规突发事件寻求资源配置的最优方案，以尽可能地降低灾害程度。我国是世界上受自然灾害影响最为严重的国家之一，灾害种类多、发生频率高。因此，应急管理研究对于完善我国应急管理体系、提高应急管理能力、保障社会和谐与人民安宁具有重要意义。应急管理包括事前预防、应急准备、监测预警、处置救援、恢复重建等5个阶段。其涉及的突发公共事件包括自然灾害、事故灾难、公共卫生事件和社会安全事件，通常具有多样性、突发性、复杂性、弱经济性、信息不确定性和物资需求量大等特点。目前，应急管理大多以个案研究为主，还没有建立以数学为基础的系统理论，但理论研究已经形成雏形。例如，随机混杂系统理论涵盖了多种时间尺度下微观与宏观之间的相互影响机制、动态环境下应急过程的差异性变化、决策方案的适时性和有效性，正在成为描述应急过程的有效工具。
运筹学作为一门关于决策的科学，其适用场景多为政府部门和大型企业的人、财、物等资源的合理使用。运筹学所包含的模型、理论和方法，在复杂条件下依赖于算法、算力的提高。当前，我们正处于数字时代和大科学时代以及世界各国强调使用国家战略力量的背景下，运筹学迎来了新的机遇。
王楠，中国科协创新战略研究院博士后，主要研究方向为科技战略和科技政策。
王国强，中国科协创新战略研究院研究员，博士，主要研究方向为科技史、科技政策和科技传播。
