如何用python列表进行数据拟合,用Python做科学计算工具篇
如何用python列表进行数据拟合,用Python做科学计算工具篇import numpy as np(1)#创建数据点集:# -*- coding: utf-8 -*- """ Created on Thu Jul 27 16:42:30 2017 @author: Dell """ import numpy as np import pylab as pl from scipy import interpolate import matplotlib.pyplot as plt x = np.linspace(0 2*np.pi np.pi/4 10) y = np.sin(x) x_new = np.linspace(0 2*np.pi np.pi/4 100) f_linear = interpolate.interp1d(x y) tck = interpolate.splrep
1.最小二乘拟合
实例1
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import leastsq
plt.figure(figsize=(9 9))
x=np.linspace(0 10 1000)
X = np.array([8.19 2.72 6.39 8.71 4.7 2.66 3.78])
Y = np.array([7.01 2.78 6.47 6.71 4.1 4.23 4.05])
#计算以p为参数的直线和原始数据之间的误差
def f(p):
k b = p
return(Y-(k*X b))
#leastsq使得f的输出数组的平方和最小,参数初始值为[1 0]
r = leastsq(f [1 0])
k b = r[0]
print("k=" k "b=" b)
plt.scatter(X Y s=100 alpha=1.0 marker='o' label=u'数据点')
y=k*x b
ax = plt.gca()
ax.set_xlabel(... fontsize=20)
ax.set_ylabel(... fontsize=20)
#设置坐标轴标签字体大小
plt.plot(x y color='r' linewidth=5 linestyle=":" markersize=20 label=u'拟合曲线')
plt.legend(loc=0 numpoints=1)
leg = plt.gca().get_legend()
ltext = leg.get_texts()
plt.setp(ltext fontsize='xx-large')
plt.xlabel(u'安培/A')
plt.ylabel(u'伏特/V')
plt.xlim(0 x.max() * 1.1)
plt.ylim(0 y.max() * 1.1)
plt.xticks(fontsize=20)
plt.yticks(fontsize=20)
#刻度字体大小
plt.legend(loc='upper left')
plt.show()
实例2
#最小二乘拟合实例
import numpy as np
from scipy.optimize import leastsq
import pylab as pl
def func(x p):
"""
数据拟合所用的函数: A*cos(2*pi*k*x theta)
"""
A k theta = p
return A*np.sin(k*x theta)
def residuals(p y x):
"""
实验数据x y和拟合函数之间的差,p为拟合需要找到的系数
"""
return y - func(x p)
x = np.linspace(0 20 100)
A k theta = 10 3 6 # 真实数据的函数参数
y0 = func(x [A k theta]) # 真实数据
y1 = y0 2 * np.random.randn(len(x)) # 加入噪声之后的实验数据
p0 = [10 0.2 0] # 第一次猜测的函数拟合参数
# 调用leastsq进行数据拟合
# residuals为计算误差的函数
# p0为拟合参数的初始值
# args为需要拟合的实验数据
plsq = leastsq(residuals p0 args=(y1 x))
print (u"真实参数:" [A k theta] )
print (u"拟合参数" plsq[0]) # 实验数据拟合后的参数
pl.plot(x y0 color='r' label=u"真实数据")
pl.plot(x y1 color='b' label=u"带噪声的实验数据")
pl.plot(x func(x plsq[0]) color='g' label=u"拟合数据")
pl.legend()
pl.show()
2. 插值
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Thu Jul 27 16:42:30 2017
@author: Dell
"""
import numpy as np
import pylab as pl
from scipy import interpolate
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(0 2*np.pi np.pi/4 10)
y = np.sin(x)
x_new = np.linspace(0 2*np.pi np.pi/4 100)
f_linear = interpolate.interp1d(x y)
tck = interpolate.splrep(x y)
y_bspline = interpolate.splev(x_new tck)
plt.xlabel(u'安培/A')
plt.ylabel(u'伏特/V')
plt.plot(x y "o" label=u"原始数据")
plt.plot(x_new f_linear(x_new) label=u"线性插值")
plt.plot(x_new y_bspline label=u"B-spline插值")
pl.legend()
pl.show()
实例分析
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Thu Jul 27 16:53:21 2017
@author: Dell
"""
import numpy as np
from scipy import interpolate
import pylab as pl
#创建数据点集并绘制
pl.figure(figsize=(12 9))
x = np.linspace(0 10 11)
y = np.sin(x)
ax=pl.plot()
pl.plot(x y 'ro')
#建立插值数据点
xnew = np.linspace(0 10 101)
for kind in ['nearest' 'zero' 'linear' 'quadratic']:
#根据kind创建插值对象interp1d
f = interpolate.interp1d(x y kind = kind)
ynew = f(xnew)#计算插值结果
pl.plot(xnew ynew label = str(kind))
pl.xticks(fontsize=20)
pl.yticks(fontsize=20)
pl.legend(loc = 'lower right')
pl.show()
B样条曲线插值
一维数据的插值运算可以通过 interp1d()实现。
其调用形式为:
Interp1d可以计算x的取值范围之内任意点的函数值,并返回新的数组。
interp1d(x y kind=‘linear’ …)
参数 x和y是一系列已知的数据点
参数kind是插值类型,可以是字符串或整数
B样条曲线插值
Kind给出了B样条曲线的阶数:
‘
zero‘ ‘nearest’ :0阶梯插值,相当于0阶B样条曲线
‘slinear’‘linear’ :线性插值,相当于1阶B样条曲线
‘quadratic’‘cubic’:2阶和3阶B样条曲线,更高阶的曲线可以直接使用整数值来指定
(1)#创建数据点集:
import numpy as np
x = np.linspace(0 10 11)
y = np.sin(x)
(2)#绘制数据点集:
import pylab as pl
pl.plot(x y 'ro')
创建interp1d对象f、计算插值结果:
xnew = np.linspace(0 10 11)
from scipy import interpolate
f = interpolate.interp1d(x y kind = kind)
ynew = f(xnew)
根据kind类型创建interp1d对象f、计算并绘制插值结果:
xnew = np.linspace(0 10 11)
for kind in ['nearest' 'zero' 'linear' 'quadratic']:
#根据kind创建插值对象interp1d
f = interpolate.interp1d(x y kind = kind)
ynew = f(xnew)#计算插值结果
pl.plot(xnew ynew label = str(kind))#绘制插值结果
如果我们将代码稍作修改增加一个5阶插值
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Thu Jul 27 16:53:21 2017
@author: Dell
"""
import numpy as np
from scipy import interpolate
import pylab as pl
#创建数据点集并绘制
pl.figure(figsize=(12 9))
x = np.linspace(0 10 11)
y = np.sin(x)
ax=pl.plot()
pl.plot(x y 'ro')
#建立插值数据点
xnew = np.linspace(0 10 101)
for kind in ['nearest' 'zero' 'linear' 'quadratic' 5]:
#根据kind创建插值对象interp1d
f = interpolate.interp1d(x y kind = kind)
ynew = f(xnew)#计算插值结果
pl.plot(xnew ynew label = str(kind))
pl.xticks(fontsize=20)
pl.yticks(fontsize=20)
pl.legend(loc = 'lower right')
pl.show()
运行得到
发现5阶已经很接近正弦曲线,但是如果x值选取范围较大,则会出现跳跃。
关于拟合与插值的数学基础可参见霍开拓:拟合与插值的区别?
左边插值,右边拟合
仔细看有啥不一样
插值曲线要过数据点,拟合曲线整体效果更好。
插值,对准了才可以插吗,那就一定得过数据点。拟合,就是要得到最接近的结果,是要看总体效果。
既然理想(思路)不一样,那么三观和行为(特点和策略)也就不一样啦。
插值是指已知某函数的在若干离散点上的函数值或者导数信息,通过求解该函数中待定形式的插值函数以及待定系数,使得该函数在给定离散点上满足约束。
所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值{f1 f2 … fn},通过调整该函数中若干待定系数f(λ1 λ2 … λn) 使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意义)最小。如果待定函数是线性,就叫线性拟合或者线性回归(主要在统计中),否则叫作非线性拟合或者非线性回归。表达式也可以是分段函数,这种情况下叫作样条拟合。
从几何意义上将,拟合是给定了空间中的一些点,找到一个已知形式未知参数的连续曲面来最大限度地逼近这些点;而插值是找到一个( 或几个分片光滑的)连续曲面来穿过这些点。
插值法
以下引自某科
Lagrange插值
Lagrange插值是n次多项式插值,其成功地用构造插值基函数的 方法解决了求n次多项式插值函数问题。
★基本思想 将待求的n次多项式插值函数pn(x)改写成另一种表示方式,再利用插值条件⑴确定其中的待定函数,从而求出插值多项式。
Newton插值
Newton插值也是n次多项式插值,它提出另一种构造插值多项式的方法,与Lagrange插值相比,具有承袭性和易于变动节点的特点。
★基本思想 将待求的n次插值多项式Pn(x)改写为具有承袭性的形式,然后利用插值条件⑴确定Pn(x)的待定系数,以求出所要的插值函数。
Hermite插值
Hermite插值是利用未知函数f(x)在插值节点上的函数值及导数值来构造插值多项式的,其提法为:给定n 1个互异的节点x0 x1,…… xn上的函数值和导数值求一个2n 1次多项式H2n 1(x)满足插值条件H2n 1(xk)=ykH'2n 1(xk)=y'k k=0 1 2,……,n ⒀如上求出的H2n 1(x)称为2n 1次Hermite插值函数,它与被插函数一般有更好的密合度.
★基本思想利用Lagrange插值函数的构造方法,先设定函数形式,再利用插值条件⒀求出插值函数.
貌似插值节点取的越多,差值曲线或曲面越接近原始曲线/曲面,因为采样多嘛。但事实总是不像广大人民群众想的那样,随着插值节点的增多,多项式次数也在增高,插值曲线在一些区域出现跳跃,并且越来越偏离原始曲线。这个现象被 Tolmé Runge 发现并解释,然后就以他的名字命名这种现象。It was discovered by Carl David Tolmé Runge (1901) when exploring the behavior of errors when using polynomial interpolation to approximate certain functions.
为了解决这个问题,人们发明了分段插值法。分段插值一般不会使用四次以上的多项式,而二次多项式会出现尖点,也是有问题的。所以就剩下线性和三次插值,最后使用最多的还是线性分段插值,这个好处是显而易见的。
拟合
最小二乘
如何找到最接近原始曲线或者数据点的拟合曲线,这不是一件容易操作的事。要想整体最接近,直接的想法就是拟合曲线的每一点到原始曲线的对应点的最接近,简单点说就是两曲线上所有点的函数值之差的绝对值之和最小。看似解决问题,但绝对值在数学上向来是个不好交流的语言障碍患者,那然后又该怎么办。数学家说了既然办不了你绝对值之和,那就办了你家亲戚,就看你平方之和长得像。于是就找了这个长得像的来背黑锅,大家都表示很和谐。然后给这种操作冠之名曰'最小二乘法'。
官方一点的表述 , 选择参数c使得拟合模型与实际观测值在曲线拟合各点的残差(或离差)ek=yk-f(xk,c)的加权平方和达到最小,此时所求曲线称作在加权最小二乘意义下对数据的拟合曲线,这种方法叫做最小二乘法。