圆锥曲线的生成原理：圆锥曲线的光学特性
圆锥曲线的生成原理：圆锥曲线的光学特性作图法：设P是椭圆上的任何一点，F1，F2是椭圆的两焦点，过点F1，P连接直线F1，连接线线段P，F2，设F’在线段F1P延长线上，做∠F’PF2的平分线l，那么l就是过P点椭圆的切线。圆锥曲线的光学性质的证明虽然可以用解析法去做，但纯几何法简单，下面按阿波罗尼斯的古典方法给出证明。由反射定律，入射角等于反射角可知，F1P与PP1的夹角等于PP1与F2P的夹角。利用夹角的正切计算公式有：即在长轴上存在唯一一对点，以椭圆中心为对称中心，可以将F1点出发的光线经过椭圆反射到另外一点上，这两点的坐标（-c，0），（c，0）满足c2=a2-b2，这两点被称为椭圆的焦点。同理我们可以得到双曲线也有两个点（-c，0），（c，0），满足c2=a2 b2，是双曲线的焦点，证明留给读者。
什么是焦点在读高中学圆锥曲线时，抛物线，椭圆，双曲线都有焦点，焦点如果从放大镜聚焦的角度看不就是能把平行光线聚集在一点的一个特殊点吗？当时，我搞明白了抛物线焦点确实是可以聚集平行于主轴的光线的。即使这一点，高中课本也没有太详细的解释，所以当时对高中课本感觉比较困惑。带着这样的困惑，一直到到大学，研究生，工作，直到人到中年，想起培养青少年的时候，才发现我虽然是高中“学霸”，还是有相当多的高中数学，初中数学，甚至小学数学的规律没搞明白。不明白就只能钻研，圆锥曲线的光学性质，就是从众多的初等知识查缺补漏中得到的，与大家分享一下。来源已经忘记了，反正是多种文献，加自己思考补充的结果。
椭圆与双曲线的焦点椭圆的标准方程
令P(x0，y0)是椭圆上任意一点，设F1 F2是椭园长轴上的两点，由F1上点光源产生的光线经P点反射可以到达F2。
假设F1点坐标为（-c，0），F2点坐标为（-c，0）切线PP1的方程可以写成：
由反射定律，入射角等于反射角可知，F1P与PP1的夹角等于PP1与F2P的夹角。利用夹角的正切计算公式有：
即在长轴上存在唯一一对点，以椭圆中心为对称中心，可以将F1点出发的光线经过椭圆反射到另外一点上，这两点的坐标（-c，0），（c，0）满足c2=a2-b2，这两点被称为椭圆的焦点。
同理我们可以得到双曲线也有两个点（-c，0），（c，0），满足c2=a2 b2，是双曲线的焦点，证明留给读者。
圆锥曲线的光学性质的证明虽然可以用解析法去做，但纯几何法简单，下面按阿波罗尼斯的古典方法给出证明。
作图法：设P是椭圆上的任何一点，F1，F2是椭圆的两焦点，过点F1，P连接直线F1，连接线线段P，F2，设F’在线段F1P延长线上，做∠F’PF2的平分线l，那么l就是过P点椭圆的切线。
证明：
取l上的任何一点P’，在PF’上截取PF’=PF2
⊿F2PP’≌ ⊿F’PP’
F1F’=F1P PF’=F1P PF2
而三角形F1P’F’中
FF’<F1P’ P’F’=F1P’ P’F2
从而F1P’ P’F2> F1P PF2
所以P’必在椭圆外 这样直线l只与椭圆交于P一点 这样l确实是切线。
推论：设PD是过P点的法线，那么∠F1PD=∠F2PD
类似地，设P双曲线右半分支的任意一点，过P做∠F1PF2的角平分线l，我们来证明l就是双曲线的切线。
考虑三角形F1F’P’
F1F’=F1P-PF2
F1F2’>F1P’-P’F’ 即F1P-P2>F1P’-P’F2 所以P’一定在双曲线两支所夹的区域之内 所以l是切线 设PD是法线 我们就得到由F2发出的光线经过P点的反射会在F1点成为虚像。
圆锥曲线光学性质与准线Q为⊿ABC中，BC上的一点，则BQ平分∠ABC的充分必要条件是：BA:BC=BQ:QC。
利用以上定理，我们来说明圆锥曲线的准线。
以双曲线为例：设切线为P1T，P1点坐标为(x1，y1）
下面我们证明（2）的比值为常数：
