导数微分日常生活实际应用实例，为了打通微积分的

导数微分日常生活实际应用实例，为了打通微积分的f(b) -f(a)=[f(b) -f(b-△x)]/△x*△x [f(b-△x) -f(b-2△x)]/△x*△x ...... [f(a 2△x) -f(a △x)]/△x*△x [f(a △x) -f(a)]/△x*△x因为△x/△x=1，又得到：把区间x∈[a，b]分割成无限个无限小，每个无限小记为△x，则有b-a=∞*△x。那么：f(b) -f(a)=[f(b) -f(b-△x)] [f(b-△x) -f(b-2*△x)] ...... [f(a 2△x) -f(a △x)] [f(a △x) -f(a)]

本篇是是上一篇文章

微积分的思维，是对传统方法的降维打击，大道至简其实不难！的延续阅读。

之前，我们已经了解了从微分到积分的转换过程。其实，我们也可以反向推演从积分到微分的转换过程。

对任一可导的函数y=f(x)，在区间x∈[a，b]上，有f(b) -f(a)，这是曲线y=f(x)在Y轴上的一段投影的长度。

把区间x∈[a，b]分割成无限个无限小，每个无限小记为△x，则有b-a=∞*△x。

那么：

f(b) -f(a)=[f(b) -f(b-△x)] [f(b-△x) -f(b-2*△x)] ...... [f(a 2△x) -f(a △x)] [f(a △x) -f(a)]

因为△x/△x=1，又得到：

f(b) -f(a)=[f(b) -f(b-△x)]/△x*△x [f(b-△x) -f(b-2△x)]/△x*△x ...... [f(a 2△x) -f(a △x)]/△x*△x [f(a △x) -f(a)]/△x*△x

=f'(b)△x f'(b-△x)△x ...... f'(a 2△x)△x f'(a △x)△x

因为函数y=f(x)可导，我们把f'(b)~f'(a)，记作f'(x)，于是得：f(b) -f(a)=∫f'(x)dx，x∈[a，b]。

拿出式中一项，单独表达：[f(x △x) -f(x)]/△x=f'(x)。因为[f(x △x) -f(x)]/△x要进行极限运算，表达式记作：

从上述的推演来看，导函数f'(x)是可以由原函数f(x)计算得出的，而原函数f(x)是由导函数f'(x)逆向推导得来的。为了能在微积分计算时，收放自如地推导原函数f(x)，我们需要先做好准备工作：求导数f'(x)。

下面，我们一起来了解几个常见函数的求导过程。

1、常数函数y=C求导:

也可以记作：（C）'=0。

2、比例函数y=ax b求导，a、b为实数:

也可以记作：(ax)'=a。它也可以视为幂函数y=x^μ当μ=1时的一个特例。

3、指数函数y=a^x求导：

初中学数学的时候，我们先学的幂次方运算后学的指数运算，但求导数不一样，指数函数能用正常的方法求，但幂函数需要借助指数函数的求导结果来求导。所以，我们先来了解指数函数的求导。

也可以记作：（a^x）'=a^x*lna。

当指数函数的底数取自然常数e，也就是a=e时，因为lne=1，所以（e^x）'=e^x。

4、幂函数的y=x^μ求导：

我们可以先求一个μ为正整数时的特例。取x=a，当x无限趋近于a时，就可以求出y=x^μ在x=a处的导数。

把a替换成x，就有（x^μ）'=μx^(μ-1)，把μ从正整数域推广到实数域，这个结论也是成立的。但这是类比推论，（x^μ）'=μx^(μ-1)还需要去证明。这就需要借助指数函数y=e^x和对数函数y=lnx的求导结果以及复合函数的求导方法。我们先把证明贴出来，有需要补对数函数和复合函数求导课的同学，可以回头再来看。

首先我们做一个很有意思的转换：x=e^lnx。有的同学可能忘了对数的运算，那我们先证明一下这个等式。令e^lnx=y，则lnx=lny，x=y，所以x=e^lnx。那么有：

了解了这几个基本函数的导数，反过来求积分，一般的求面积或路程的问题，就不在话下了。

如果把微积分当作一门武功，那求导数就相当于打开了“任督二脉”。为了学好微积，让我们来愉快地求导数吧！