直线方程的几种形式课堂实录：课堂实录曲线与方程

直线方程的几种形式课堂实录：课堂实录曲线与方程(2)怎样利用定义证明方程是曲线的方程(曲线是方程的曲线)。(1)如何引导学生自主探究获得定义中的两个条件;教学重点“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。教学难点

教学目标及重点、难点

教学目标

(1)结合已学实例 初步理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的含义 深化对解析法思想的认识;

(2)经历曲线与方程对应关系的探究过程 发展抽象概括能力;

(3)能运用曲线的方程(方程的曲线)的概念辨析或证明简单的具体问题 发展逻辑思维能力 培育理性精神。

教学重点

“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。

教学难点

(1)如何引导学生自主探究获得定义中的两个条件;

(2)怎样利用定义证明方程是曲线的方程(曲线是方程的曲线)。

新课引入

师:在解析几何中 我们已经学习了直线、圆、椭圆等多种曲线 经常有这样的问题，给一条曲线 让你求出它的方程;或者给一个方程 让你画出它的曲线。这难道就没有值得同学们怀疑的地方?比如，“曲线与方程”究竟是什么关系 它们能不能相互表示?依据什么说一个方程就是某曲线的方程 一条曲线就是某方程的曲线?这节课 我们就来学习“曲线与方程”(板书课题)。

探究新知

师:我们如何研究曲线与方程的关系呢? (让学生略做思考后)曲线可以看做是由什么构成的集合?

众生:点。

师:所以 研究曲线 关键是抓住曲线上的每一个点(板书:曲线一点)。曲线是点集 方程有什么集啊?

众生:解集。

教师:所以 研究方程应该抓住方程的每一个解(板书:方程一解)。

我们现在研究的曲线是平面曲线 方程是关于x y的二元方程 那么 怎样才能把曲线上的点与方程的解联系起来呢?

生1:我认为 点的坐标就是方程的解。

师:你的意思是借助坐标就可以沟通曲线，上的点与方程的解 这很好!问题是 曲线上的点一定有坐标吗?什么情况下才有坐标?

学生1:需要建立平面直角坐标系。.

教师:这就是解析几何创始人笛卡儿的伟大之处!在平面直角坐标系下 点坐标的形式是有序数对(x y) 而方程解的形式也是有序数对(x y) 二者找到了“共同语言”和联系的“纽带”。

根据以上分析 你认为可以从什么角度去研究曲线与方程的关系呢?

学生2:对于曲线上的点 看它的坐标是不是方程的解;反过来 以方程的解为坐标画点 看它在不在曲线上。

实例感知

教师:我们先来看几个具体的例子。

问题1下列每组曲线与方程 你认为它们能不能相互表示? (PPT 投影 每组依次呈现)

(1)曲线:过点(1 1)且斜率为1的直线;方程:

(思考片刻后)

学生3:我认为不能相互表示。

教师:你的理由是什么?

学生3:因为曲线上有点(1 1) 而方程中没有(1 1)这组解 所以不能相互表示。

教师:也就是 对于这个方程来说 曲线上的点(1 1)是——

学生3:多余的。

教师:很好。由此可见 要想曲线与方程能够相互表示，曲线上的点能不能多啊?

众生:不能 多一个都不行。

(板书:一点不多)

(2)曲线:△OAB中AB边上的中线 其中0(0 0) A(2 0) B(0 2);方程x-y=0。

(思考片刻后)

学生4:不能相互表示。

教师:你是怎么想的?

学生4:曲线是三角形的中线 它是一 条线段;而方程表示一条直线 不一样。

教师:现在 你能否换一种方式说明曲线与方程如何不一样?比如 这条曲线上的点有多余的吗?

学生4:没有。

教师:既然点没有多余的，为什么还不能相互表示?

学生4:曲线上的点少了。

教师:“点少了”是什么意思?

学生4:就是以方程的解为坐标画点 有的点不在中线上。

教师:能否举个例子?

学生4:比如 方程中有(-1 - 1)这组解 但点(-1 -1)不在曲线上。

教师:很好!由此可见 要想曲线与方程能够相互表示，曲线上的点能不能少?

众生:不能。少一个都不行。

(板书:一点不少)

(3)曲线:到坐标原点距离为2的圆在x轴上方的部分;方程:

(思考片刻后)

学生5:不能相互表示。

教师:理由是什么?点有多余的还是点有遗漏的?

学生5:既有多余的点 也有遗漏的点。

教师:能否举具体的例子?

学生5:比如说，曲线上有点(一1 /3) 但(一1 /3)不是方程的解;方程有(0 - 2)这组解 但(0 - 2)

这个点不在曲线.上。

教师:这位同学说得非常到位!

归纳概括.

教师:通过这三组例子 你能否概括一下，曲线与方程要想能够相互表示 需要满足哪些条件?

(思考片刻后)

学生6:首先 曲线上所有点的坐标都是方程的解;然后 以方程的解为坐标的点都在曲线上。(教师板书)

教师:这两个条件是只需要满足其中一个即可，还是缺一不可?

众生:缺一不可。

教师:如果同时满足这两个条件 那么曲线与方程就可以相互表示 此时，曲线与方程之间建立了一种等价关系 方程就叫作曲线的方程，曲线就叫作方程的曲线。(教师板书并投影定义)

教师:你认为 “曲线的方程”和“方程的曲线”这两个概念有没有区别?.

学生7:有区别，所强调的对象不一样:“曲线的方程” 对象是方程;“方程的曲线” 对象是曲线。

教师:很好!那这两个概念有没有共同点呢?

学生8:无论是曲线的方程 还是方程的曲线 要想成立都必须同时满足上面两个条件。

深化理解

教师:学过了概念之后 我们回到刚才的例子 共同反思。在每一组例子中 方程能否叫作曲线的方程 曲线能否叫作方程的曲线?为什么?

众生:不能。因为至少不符合两条中的一条。

问题2在上述每组曲线与方程中 你能否修改曲线与方程中的一个 使得方程变成曲线的方程，曲线变成方程的曲线?试一试。(PPT投影 每组依次呈现)

(1)曲线:过点(1 1)且斜率为1的直线;方程:

学生9:曲线不动 方程改为

教师:这样修改后，方程是否就变成了曲线的方程?

学生9:是的。这样曲线上的点(1 1)坐标就满足方程了。

教师:嗯!这一个点的坐标满足方程就行了吗?

学生9:别的点的坐标本来就满足方程。

(教师微笑地看着学生9 没有说一句话)

学生9(恍然大悟):哦 曲线上的点(2 2)不行。

教师:这叫“按下葫芦浮起瓢” 我把方程改为

行不行?

学生9:还不行 曲线上的点(3 3)是多余的。

教师:那到底该怎么改才行?

学生9:我明白了!去掉分母 改为y=x.

教师:现在行了吗?为什么?

众生:行了。符合定义中的两条 此时曲线上的所有点(包括点(1 1))的坐标都是方程的解;同时以这个方程的解为坐标的点都在曲线上。

教师:如果方程不动 修改曲线 怎么办?

学生10:过原点且斜率为1的直线 去掉(1 1)点。

教师:很好!如何说明答案的正确性呢?

学生11:还是抓定义 修改以后 曲线上没有点(1 1) 方程中也没有(1 1)这组解。其他的点和解都能建立一一对应关系。

(2)曲线:△OAB中AB边上的中线 其中0(0 0) A(2 0) B(0 2);方程x-y=0。

学生12:曲线不动 修改方程。把方程中的x加一个范围限制 改为x-y=0(0≤x≤1) 这样就符合

定义中的两条。

教师:好的。如果方程不动，如何修改曲线?

学生13:把曲线改为△OAB中AB边上的中线.所在的直线 同样也能符合定义中的两条。

教师:非常棒!

(3)曲线:到坐标原点距离为2的圆在x轴上方的部分;方程:

学生14:若曲线不动 方程可改为

其中x≠土2。

教师:为什么对x的范围加以限制啊?

学生14:因为曲线是圆在x轴上方的部分 不包括圆与x轴的两个交点。

教师:这位同学的思维很严谨!我想把根号去掉 方程改为x^2 y^2 =4 行不行?

众生:不行 要加上范围y>0。

教师:若方程不动 曲线该怎么修改?

学生15:曲线可改为到坐标原点距离为2的圆在y轴及其右侧的部分。

教师:包不包括圆与y轴的两个交点?

学生15:包括。

教师:你的思维也非常严谨!

问题3 证明: 以坐标原点为圆心 半径等于5的圆的方程是x^2 y^2=25。(PPT 投影)

(教师没有做任何分析提示 让学生独立书写证明过程 教师巡视过程中与个别学生交流。3分钟

后，展示学生证明过程)

教师:要想证明这个结论 需要完成哪几件事?

学生16:两件事 一是要证明圆上所有点的坐标都是这个方程的解;二是要证明以这个方程的解为坐标的点都在圆上。

教师:你能回到定义去思考问题 这很好。对于第一件事 我们要弄清楚“已知什么 要证明什么”，你是怎么想的?

学生16:已知P(xo yo)是这个圆上任意一点 要证明(xo yo)是方程的解。

教师:对于第二件事，我们也要弄清楚“已知什么 要证明什么” 你又是怎么想的?

学生16:已知(x1 y1)是方程的任意一组解 要证明点Q(x1 y1)在这个圆上。

教师:请同学们具体操作 分别完成这两件事。

(学生动手 教师巡视 然后用实物投影仪展示学生17的求解过程)

教师:已知P(xo，yo)是圆上任意一点，得到

依据是什么?

学生17:(思考片刻后)根据圆的定义 圆上任意一点到圆心的距离等于半径 然后利用两点间的距离公式得到这个式子。

教师:很好 接下来 两边平方得到

这个等式意味着什么?

学生17:意味着(xo yo)满足方程x^2 y^2=25 是这个方程的解。

教师:第一件事完成得漂亮!再来看第二件事:设数对P.(x1 y1)是方程x^2 y^2=25的一组解，则

x1^2 y1^2=25 这里的数对P(x1 y1)是方程的某一组解 还是任意一组解?

学生17:是任意一组解。

教师:好的 无论证明定义的哪-方面 都要体现任意性。接下来，两边同时取算术平方根，得到

为什么就可以判定点P1在这个圆上?

学生17:利用了等式的几何意义 等式可化为

即(x1 y1 )到(0 0)的距离为5 再根据圆的定义知 点P1(x y1)一定在圆上。

教师:从上述过程可以看出 无论是证明哪一件事 都需要充分利用曲线的定义或性质 合理地对等式进行代数运算、恒等变形等。

教师:现在 对于点A(-4 2) B(3 4) 你如何判断它们是否在这个圆上?

学生18:(-4 2)不是方程的解 所以点A不在圆上;(3 4)是方程的解 所以点B在圆上。

教师:点在不在圆上 是一个几何问题;有序数对是不是方程的解 是一个代数问题。代数问题的结论 为什么可以用来回答几何问题呢?

学生19:我们刚刚已经证明了这个方程就是圆的方程 方程与圆是一种等价关系 因此可以用方程来代替曲线。.

教师:毫不夸张地说，曲线与方程的定义是整个解析几何的根基 如果没有它 用代数方法处理几何问题就失去了依据。

课堂小结

教师:现在 大家共同回顾本节课 看看有哪些收获?

教师引导学生结合板书从三个方面归纳:(1)曲线的方程、方程的曲线概念 特别是定义中两个条件的本质以及它们之间相互依存、缺一不可的关系;(2)在概念学习的过程中 运用了从特殊到一般、数形结合、转化与化归等数学思想方法;(3)曲线的方程、方程的曲线概念对解析几何具有奠基意义。如图1 具体从略。