数学史上第一次危机的实质和意义（影响整个数学史发展的三次危机）
数学史上第一次危机的实质和意义（影响整个数学史发展的三次危机）十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，集合论是数学上最具革命性的理论，初衷是为整个数学大厦奠定坚实的基础。 可是1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家 罗素 提出的著名的罗素悖论 。这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。第二次数学危机的出现，迫使数学家们不得不认真对待无穷小量△x，为了克服由此引起思维上的混乱，解决这一危机，无数人投入大量的劳动。然而不久毕达哥拉斯学派的一个学生希伯斯很快便发现了这个论断的问题。他发现等腰直角三角形两直角边为1时，斜边永远无法用最简整数比（有理数）来表示，从而发现了第一个无理数，希伯斯推翻了毕达哥拉斯的著名理论。相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，但就因为这一发现而把希伯斯抛入大海。第一次数学危机极大地促进了几何学的发展，使几何学在此后两千年间成为几乎是全部严密数学的基础
数学史上曾经发生过三次数学危机，每次都是由一两个典型的数学悖论引起的。
悖论 是一种认识矛盾 比如苏格拉底说过：“我只知道一件事，那就是我一无所知。”这就是一个典型的悖论。
数学史上曾经发生过三次数学危机，每次都是由一两个典型的数学悖论引起的。
第一次数学危机：毕达哥拉斯悖论
毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大贡献是证明了毕达哥拉斯定理，也就是我们所说的勾股定理。勾股定理指出直角三角形三边应有如下关系，即a^2=b^2 c^2，a和b分别代表直角三角形的两条直角边，c表示斜边。
然而不久毕达哥拉斯学派的一个学生希伯斯很快便发现了这个论断的问题。他发现等腰直角三角形两直角边为1时，斜边永远无法用最简整数比（有理数）来表示，从而发现了第一个无理数，希伯斯推翻了毕达哥拉斯的著名理论。相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，但就因为这一发现而把希伯斯抛入大海。
第一次数学危机极大地促进了几何学的发展，使几何学在此后两千年间成为几乎是全部严密数学的基础，这不能不说是数学思想史上的一次巨大革命。
十七世纪后期，牛顿和莱布尼兹创立了微积分，在实践中取得了巨大成功。 然而，微积分学产生伊始，迎来的并非全是掌声，在当时它还遭到了许多人的强烈攻击和指责，原因在于当时的微积分主要建立在无穷小分析之上，而无穷小后来证明是包含逻辑矛盾的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱 。
第二次数学危机的出现，迫使数学家们不得不认真对待无穷小量△x，为了克服由此引起思维上的混乱，解决这一危机，无数人投入大量的劳动。
第三次数学危机：罗素悖论
十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，集合论是数学上最具革命性的理论，初衷是为整个数学大厦奠定坚实的基础。 可是1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家 罗素 提出的著名的罗素悖论 。这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。
时至今日，第三次数学危机还不能说已从根本上消除了，因为数学基础和 数理逻辑的许多重要课题还未能从根本上得到解决。然而，人们正向根本解决的目标逐渐接近......
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