几何数学基本知识：从一道解析几何题看数学的美学价值

几何数学基本知识：从一道解析几何题看数学的美学价值方法一、（联立方程法）例、设椭圆的中心为原点O，过O作两条垂直的射线交椭圆于P、Q两点。求证：投稿时间：2020.7.29摘要：数学课程新课标2017修订版在必修课程和选择必修课程中，都增加了数学建模活动与数学探究活动。这说明新课标对数学知识的应用能力的要求提到了一个新的高度，更加突出了数学的工具性的作用。数学的工具性作用，一个是在数学知识内部的应用，一个是在实际生活中的应用。本文通过不同的思路和方法对一道解析几何题进行探究，体现了数学的工具性作用，同也时增强了对数学问题的探究，感受知识的生成过程和数学思想方法的应用，展现了数学问题解决的和谐美。关键词：联立方程 三角 极坐标 参数方程

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从一道解析几何题看数学的美学价值

作者：乔书沛

作品编号：024

投稿时间：2020.7.29

摘要：数学课程新课标2017修订版在必修课程和选择必修课程中，都增加了数学建模活动与数学探究活动。这说明新课标对数学知识的应用能力的要求提到了一个新的高度，更加突出了数学的工具性的作用。数学的工具性作用，一个是在数学知识内部的应用，一个是在实际生活中的应用。本文通过不同的思路和方法对一道解析几何题进行探究，体现了数学的工具性作用，同也时增强了对数学问题的探究，感受知识的生成过程和数学思想方法的应用，展现了数学问题解决的和谐美。

关键词：联立方程 三角 极坐标 参数方程

例、设椭圆的中心为原点O，过O作两条垂直的射线交椭圆于P、Q两点。求证：

方法一、（联立方程法）

1.当OP OQ在坐标轴上时，显然

2.当OP OQ不在坐标轴上时，

设OP所在的直线方程:

则OQ所在直线方程：

联立方程

整理得

解得，

同理

所以

即证.

点评：联立方程法是解决解析几何问题的常规方法，虽然有时候计算相对繁琐，但是思路清晰，体现了解决数学问题的基本思想和方法，同时也较好的考察了学生的数学运算能力。

方法二、（三角法）

设有向线段OP与x轴正方向的夹角为θ，则P(|OP|cosθ，|OP|sinθ)，因为OP与OQ垂直，所以OQ与x轴正向的夹角为， 所以

所以

即证.

点评：三角函数作为一个有用的工具经常出现在解决解析几何的问题之中，有着意想不到的神奇作用，甚至可以起到化腐朽为神奇的作用，使人顿时觉得耳目一新，曲径通幽处。

方法三、（极坐标法）

以平面直角坐标系原点为极点，x轴正半轴建立极坐标系。设.则且因为椭圆的极坐标方程为

代入P、Q两点：

化简可得：

即证.

点评：极坐标法和向量法在解答此类问题中有异曲同工之妙，体现了极坐标作为一种数学工具的特点。

方法四、（参数方程法）

由题意可得OP所在直线的参数方程为：

(t为参数)，则OQ所在直线的参数方程为：

(t为参数) ，分别代入椭圆中得：

化简可得：

由参数方程t的几何意义可知：

即证.

点评：参数方程是相对于普通方程而言的，参数方程通过引入一个“第三者”，使得平面曲线的内涵更加丰富，解决解析几何问题时候方法更加的多元化，更能够展现数学知识作为工具性的特点。

本文通过对一道平面几何问题从四个维度进行剖析，体现了数学的完备之美，数学的曲径通幽之美，数学的精致之美。

参考文献：

1. 张奠宙.数学欣赏：一片等待开发的沃土[J].中学数学教学参考，2014(1-2).

2. 陈小勇.试谈构建高中数学文化教育课堂[J].数学学习与研究，2019.1.

3. 刘凯.高中数学教学中实施数学文化教育的策略初探[J].数学学习与研究，2018.17.