几何旋转26题，几何原本-第5卷比例

几何旋转26题，几何原本-第5卷比例mα mβ …=m(α β …)说明:该步骤运用了第5卷命题1的结论，命题1用现代的数学语言表述如下:证明:1、设GH、HK、LM和MN分别是AE、EB、CF和FD的同倍量，KO和NP分别是另外任意设定的EB和FD的同倍量。2、因为GH和HK分别是AE和EB的同倍量，所以GH和GK分别是AE和AB的同倍量。(第5卷 命题1)

这一讲，我们继续《几何原本》第5卷“比例”中命题17的学习。该命题用现在的记法，相当于证明了如下结论:

如果(a b)/b=(c d)/d，那么a/b=c/d

命题17:如果几个量成合比例，那么它们也成分比例。

已知AB、BE、CD、DF成合比例，即AB比BE等于CD比DF

目标:它们也成分比例，即AE比EB等于CF比DF。

证明:

1、设GH、HK、LM和MN分别是AE、EB、CF和FD的同倍量，KO和NP分别是另外任意设定的EB和FD的同倍量。

2、因为GH和HK分别是AE和EB的同倍量，所以GH和GK分别是AE和AB的同倍量。(第5卷 命题1)

说明:该步骤运用了第5卷命题1的结论，命题1用现代的数学语言表述如下:

mα mβ …=m(α β …)

3、因为GH和LM分别是AE和CF的同倍量，所 GK和LM分别是AB和CF的同倍量。

4、又因为LM和MN分别是CF和FD的同倍量，所以LM和LN分别是CF和CD的同倍量。(第5卷 命题1)

5、又 LM和GK分别是CF和AB的同倍量，所以GK和LN分别是AB、CD的同倍量。

6、又因为HK和MN分别是EB和FD的同倍量，且KO和NP分别是EB和FD的同倍量，所以和HO和MP分别是EB和FD的同倍量。(第5卷 命题2)

说明:该步骤运用了第5卷命题2的结论，命题2用现代的数学语言表述如下:

mα mβ nα nβ=(m n)*(α β)

7、因为AB比BE等于CD比DF，GK、LN分别量AB、CD的同倍量， HO、MP分别是EB、FD的同倍量，所以如果GK大于HO，那么LN大于MP;如果GK等于HO，则LN等于MP;如果GK小于HO，则LN小手于MP。(第5卷 定义5)

说明:该步骤运用了第5卷定义的结论，定义5用现代的数学语言表述如下:

1、如果有四个量，分别为α（第一量）、β（第二量）、γ（第三量）、θ（第四量），且α/β=γ/θ。

2、如果将第一个量α与第三个量β都乘以任一整数m，将第三个量γ与第四个量θ乘以任一整数n，则有:

①如果mα>nβ，那么mγ>nθ；

②如果mα=nβ，那么mγ=nθ；

③如果mα<nβ，那么mγ<nβ。

8、设GK大于HO、同时减去HK，则GH大于KO。但我们知道、如果GK大于HO、那么LN大于MP，所以LN大于MP。同时减去MN 则LM大于NP 所以如果GH大于KO 那么LM大于NP。

9、相似地，我们可以证明，如果GH等于KO，则LM等于NP;如果GH小于KO、则 LM小于NP。且GH、LM是AE、CF的同倍量，KO、NP是另外任意设定的EB、FD的同倍量。所以，AE比EB等于CF比FD。(第5卷 定义5)

10、综上，如果几个量成合比例，那么它们也成分比例。

好了，这一讲就到这了。

我是一个致力于科普数学、物理的科技媒体。想了解更多相关的知识，欢迎关注我的微信公众号科学发现之历程，期待你的到来。