聚点定理如何证明致密性定理（一般人理解不了）

聚点定理如何证明致密性定理（一般人理解不了）除了整个区间之外，其它区间都真包含于上一个区间，且区间的长度等于M/2^(n-2)，当n趋于无穷大时，区间的长度趋于0.按照这样的规律无限等分下去，可以得到一个区间序列，它满足：为了描述的方便，把这个闭区间记为[a1 b1]的形式，这是为构造区间套做准备的。实数完备性的六大基本定理需要互相证明。老黄刚介绍完区间套定理不久，这个聚点定理，就准备用区间套定理来证明。然后把这个区间二等分。那么就至少有一个半区间上有S的无穷多个点，用[a2 b2]表示。如果两个半区间都只有S的有限多个点，那么就与S是无限点集矛盾。如果两个半区间都有S的无穷多个点，那么就有至少会有两个聚点存在，不过我们这里只要证明至少有一个，所以只要取含有S的无穷多个点的半个区间就可以了。[a2 b2]真包含于[a1 b1]，而且区间的长度是整个区间的长度的一半，正好等于M. 继续将半个区间二等分，同理，至少存在一个四分之一区间上

你知道魏尔斯特拉斯的聚点定理吗？它是实数完备性的六大基本定理之一。关于这方面的内容，非常抽象，能理解的人觉得太过简单，理解不了的人就会觉得像在读天书一样。那么，看完之后，你会有什么感觉呢？

定理：实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点.

分析：定理的内容非常简单，但有时候越是简单的命题，越是难以证明。

因为S有界，所以存在一个正数M，使得S真包含于[-M M]的闭区间。如果M不够大，就取得再大点，总之，一定存在这样的M就是了。有些人就会纠结这个M到底是什么，如果一直思考这种问题，那数学就永远学不好，这个M就是“存在”，反正存在就可以了，你没必要去深究它是什么。比如，我说这个世界上一定有一个人比你高，你会一直纠结这个比你高的人到底是谁吗？只要你走出门去，大街上不到处都是比你高的人吗？

为了描述的方便，把这个闭区间记为[a1 b1]的形式，这是为构造区间套做准备的。实数完备性的六大基本定理需要互相证明。老黄刚介绍完区间套定理不久，这个聚点定理，就准备用区间套定理来证明。

然后把这个区间二等分。那么就至少有一个半区间上有S的无穷多个点，用[a2 b2]表示。如果两个半区间都只有S的有限多个点，那么就与S是无限点集矛盾。如果两个半区间都有S的无穷多个点，那么就有至少会有两个聚点存在，不过我们这里只要证明至少有一个，所以只要取含有S的无穷多个点的半个区间就可以了。

[a2 b2]真包含于[a1 b1]，而且区间的长度是整个区间的长度的一半，正好等于M. 继续将半个区间二等分，同理，至少存在一个四分之一区间上含有S的无穷多个点。四分之一区间真包含于半区间，且四分之一区间的长度等于二分之M.

按照这样的规律无限等分下去，可以得到一个区间序列，它满足：

除了整个区间之外，其它区间都真包含于上一个区间，且区间的长度等于M/2^(n-2)，当n趋于无穷大时，区间的长度趋于0.

即这个区间列是一个区间套。按道理，还要用区间套定理的推论来证明在这个区间套中有S的一个聚点。不过这方面的内容，在《老黄学高数》第216讲中，老黄已经证明了，所以老黄就直接给出结论了。即：区间套{[an bn]}确定S的一个聚点。如果你在理解上有困难，请查看第216讲的内容。

下面我们来做一道例题。

证明：0是[-1 1]的一个聚点。这个闭区间就是一个有界无限的点集S

证：记an=-1/n bn=1/n

则[an bn]⊃[an 1 bn 1] 且bn-an=2/n →0 (n→∞)，

即{[an bn]}是区间套，

又lim(n→∞)an=lim(n→∞)bn=0

∴0是S=[-1 1]的一个聚点.

同样的道理，可以证明这个闭区间上的任意点都是S的聚点，你能自己证明吗？

假如你是一个擅长抽象思维的人，这方面的知识一定难不住你，只需要对高数的几个常用概念有所理解就可以了。假如你不擅于抽象思维，也没有关系，通过这个知识的学习，正好锻炼一下你的抽象思维能力。