频谱和傅里叶级数的关系（频谱分析频谱概念）

小君 2023-03-23 23:51:37 601

频谱和傅里叶级数的关系（频谱分析频谱概念）由上式可知与作为互为共轭复数，根据欧拉公式，每组共轭复数可写成为复数，一般写成如下形式其中写为更为紧凑的复数形式的傅里叶级数为其中

想要设计控制系统，首先应该从分析控制系统的性能要求出发。

频谱分析是设计和分析系统的一种常用手段，本篇文章将向大家介绍频谱的概念，包括傅里叶级数、傅里叶积分、傅里叶变换以及它们各自的物理意义。

在以后的推送中，将向大家介绍频谱分析的数值方法，还将列举几个实际例子。

频谱的概念1.傅里叶级数

设一个周期为的周期函数，即满足：若满足狄利克雷(Dirichlet)条件，可用收敛的傅里叶级数表示为

其中

写为更为紧凑的复数形式的傅里叶级数为

其中

为复数，一般写成如下形式

由上式可知与作为互为共轭复数，根据欧拉公式，每组共轭复数可写成

该式表明，复系数的幅值表示第k次谐波的幅值（幅值为），复系数的相角βk表示了该次谐波的相移。这种表示方法称为复数正弦。

傅里叶级数的物理意义：由上述可知，用傅里叶级数表示函数f(t)，即视由各次谐波组成，傅里叶级数的系数表示了各次谐波的幅值和相位，而这些系数的集合称为频谱。

Tips：

1.负频率同样具有意义，当谐波用复数形式表示时，负频率表示了复数正弦的反向旋转

2.谐波次数为整数，用谐波频率同基波频率之比给出，因此频谱不是连续的，而是离散的，故这种频谱有时也称为线谱

3.频谱可以有不同的形式，有时只列出复系数的幅值

例如：绘制周期为T的方波序列的频谱

频谱和傅里叶级数的关系（频谱分析频谱概念）(1)

将方波序列的表达式代入至ck的表达式中，若，，利用欧拉公式可得到，

通过代入计算，各次谐波的ck值如下表所示

k	0	1	2	3	4	5
	0	0.63662	0	0.2122	0	0.1273

频谱和傅里叶级数的关系（频谱分析频谱概念）(2)

MATLAB代码如下：

clear，clc T = 2*pi; % 周期 omiga = 2*pi/T; sw = @(n t) exp(-1i*n*omiga*t).*square(t); N=20; Cn = zeros(1 2*N 1); % 计算Cn for n=-N:N Cn(n N 1) = quad(@(t)sw(n t) -T/2 T/2 1e-9)/T; end n = 0; c0 = quad(@(t)sw(n t) -T/2 T/2 1e-9)/T; % 计算C0 stem((-N:N).*omiga abs(Cn)); grid on title('幅值谱');xlabel('\omega');ylabel('|c_n|');2 傅里叶积分与傅里叶变换

首先对傅里叶积分与傅里叶变换进行推导，推导完毕后将讨论傅里叶积分的物理意义。 着急的同学也可以直接看结论哦~

实际上大多数函数是非周期函数，傅里叶级数无法处理非周期函数，但是可以应用傅里叶变换来处理。将周期函数的周期T看作无穷，即。

傅里叶级数的表达式为

对于上式的第一项，当时，有如下考虑

因此，当f(t)为绝对可积函数，时，第一项趋于零。设，相邻谐波之间的频率差，当时可以看作为。于是有

上式为关于ω的偶函数，所以可以写为：

此时，再加入一个ω奇函数积分

综上

即

上式即称为傅里叶积分，傅里叶积分还可以写成如下的形式：

式中

F(jω)称为函数f(t)的傅里叶变换。即说明了一个满足满足狄利克雷(Dirichlet)条件的非周期函数若是绝对可积的，就可以展开成傅里叶积分