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平面直角坐标系中矩形和正方形的存在性问题有哪些(平面直角坐标系中矩形和正方形的存在性问题)

平面直角坐标系中矩形和正方形的存在性问题有哪些(平面直角坐标系中矩形和正方形的存在性问题)思考:若以A、P、C、Q四个点为顶点的四边形是矩形,如何求P、Q坐标?(2)矩形的两定点为A、C,以AC为边或对角线进行分类讨论,构造Rt▲PAC,先求出点P的坐标,再利用平行四边形对称性求出点Q坐标。值得注意的是,本题中的矩形限定了情况,因此通过画图,排除不符合题意得情况。矩形的存在性问题的题型往往是“两定点 一个半动点 一个全动点”,以边和对角线进行分类讨论。当两定点所在线段为矩形的对角线时,往往利用判定①画出图形,利用矩形对角线得对角线互相平分且相等来做;当两定点所在线段为矩形的一边时,往往利用判定②画出图形,利用勾股定理或锐角三角比解决问题。我们的解题思路是“先Rt再平四”,即选择半动点构造直角三角形,利用平行四边形的对称性求出全动点坐标。二、具体分析分析:(1)直线l的解析式为:y=2x 2,B(0 2),C(1 4).

在本文中,我们将从矩形和正方形的判定入手,选择合适的方法解决平面直角坐标系中矩形和正方形的存在性问题。

平面直角坐标系中矩形和正方形的存在性问题有哪些(平面直角坐标系中矩形和正方形的存在性问题)(1)

一、判定方法

矩形的判定定理有3条:①对角线相等的平行四边形是矩形;②有一个角是直角的平行四边形是矩形;③3个角是直角的四边形是矩形。

判定③对应在坐标系中就是使用勾股定理,这样的计算过程比较复杂,因此判定③不做为选择的方法。

矩形的存在性问题的题型往往是“两定点 一个半动点 一个全动点”,以边和对角线进行分类讨论。当两定点所在线段为矩形的对角线时,往往利用判定①画出图形,利用矩形对角线得对角线互相平分且相等来做;当两定点所在线段为矩形的一边时,往往利用判定②画出图形,利用勾股定理或锐角三角比解决问题。我们的解题思路是“先Rt再平四”,即选择半动点构造直角三角形,利用平行四边形的对称性求出全动点坐标。

二、具体分析

平面直角坐标系中矩形和正方形的存在性问题有哪些(平面直角坐标系中矩形和正方形的存在性问题)(2)

分析:(1)直线l的解析式为:y=2x 2,B(0 2),C(1 4).

(2)矩形的两定点为A、C,以AC为边或对角线进行分类讨论,构造Rt▲PAC,先求出点P的坐标,再利用平行四边形对称性求出点Q坐标。值得注意的是,本题中的矩形限定了情况,因此通过画图,排除不符合题意得情况。

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思考:若以A、P、C、Q四个点为顶点的四边形是矩形,如何求P、Q坐标?

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再补充上AC为边的情况即可。

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其实矩形的存在性问题就是直角三角形的存在性问题,先通过对称或勾股定理或相似三角形确定半动点的坐标,再根据平行四边形的对称性求出第四点的坐标。

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一、判定方法

正方形由于其特殊性(四个角是直角及四边相等),往往通过构造一线三等角模型,利用三角形全等求出点坐标。常见的题型也是“两个顶点 一个半动点 一个全动点”。

二、构造模型

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如左图,▲ABC为等腰直角三角形,利用平行四边形的对称性,可以求出第四点坐标;如右图,▲AED为等腰直角三角形,利用平行四边形的对称性,可以求出第四点坐标。因此,正方形的存在性问题就是利用构造的全等三角形求出点的坐标。

三、具体分析

题型1:已知正方形,求相应点的坐标

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题型2:已知两定点 一半动点 一全动点,解决正方形的存在性问题。

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分析:(1)本题的关键要发现BE⊥BC;(2)以▲OCB为目标三角形构造一线三等角模型,本题只要求E点坐标,F点坐标可以通过平行四边形的对称性求得。

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分析:(1)角平分线和平行线必出现等腰三角形。证明EB=OB BF=OB,即可得证。(2)对角线互相平分且相等的四边形是矩形。因为(1)已经证明了EB=BF=OB,只要满足OB=BA,即可证明EOFA为矩形,因此OB:OA=1:2;(3)由于AEOF为正方形,因此OA与EF垂直。对角线EF,已经与x轴平行,因此另一条对角线OA必然与x轴垂直。即A在y轴上,因此A(0 4),B(0 2)。

其实矩形的存在性问题就是等腰直角三角形的存在性问题,先通过一线三等角模型确定半动点的坐标,再根据平行四边形的对称性求出第四点的坐标。

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