计量经济学线性回归分析案例（自回归条件异方差模型）

计量经济学线性回归分析案例（自回归条件异方差模型）其中ut是残差。如果a1的估计值在统计上显著不同于零，则可以得出结论，时间序列为ARCH（1）。如果时间序列模型具有ARCH（1）误差，则可以使用以下公式来预测周期t 1中误差的方差。恩格尔的模型说明我们可以通过对先前估计的时间序列模型（AR，MA或ARMA）中的残差平方进行回归，以得出残差的常数和一个滞后值，从而测试时间序列是否符合ARCH（1）。我们可以估计线性回归方程2003年的诺贝尔经济学奖获得者罗伯特·恩格尔为此做了一些研究。他首先提出了一种方法来检验特定时间序列模型中某个时期的误差方差是否取决于以前周期的误差方差。他称这种类型的异方差为自回归条件异方差（ARCH）。例如，考虑ARCH（1）模型εt的分布以上一个周期εt-1的值为条件，其分布为正态分布，均值为0，方差为a1（εt-1）^2。如果a1=0，则每个周期的误差方差为a0，变化不取决于过去的误差。如果假设a1>0。

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我们在之前的课程中忽略了时间序列模型中的异方差问题。异方差是残差方差对独立变量的依赖性；同方差是残差方差与自变量的独立性。在之前的课程中，我们假定残差的方差是恒定的，不取决于时间序列本身的值或先前误差的大小。但是，有时候残差的方差不是恒定的。在这种情况下，AR、MA或ARMA模型中回归系数的标准误将不正确，我们的假设检验将无效。因此，基于这些检验的决策我们可能会做出不正确的投资。

例如，假设我们正在建立公司销售额的自回归模型。如果存在异方差，则模型回归系数的标准误是不正确的。由于异方差性，一个或多个滞后的自变量可能在统计上似乎很显著，而实际上却并非如此。因此，如果使用此模型进行决策，则可能会存在瑕疵。

2003年的诺贝尔经济学奖获得者罗伯特·恩格尔为此做了一些研究。他首先提出了一种方法来检验特定时间序列模型中某个时期的误差方差是否取决于以前周期的误差方差。他称这种类型的异方差为自回归条件异方差（ARCH）。

例如，考虑ARCH（1）模型

εt的分布以上一个周期εt-1的值为条件，其分布为正态分布，均值为0，方差为a1（εt-1）^2。如果a1=0，则每个周期的误差方差为a0，变化不取决于过去的误差。如果假设a1>0。那么一个周期内的误差方差取决于前一个周期的平方误差的大小。如果在一个周期内发生较大的误差，则下一周期的误差方差将更大。

恩格尔的模型说明我们可以通过对先前估计的时间序列模型（AR，MA或ARMA）中的残差平方进行回归，以得出残差的常数和一个滞后值，从而测试时间序列是否符合ARCH（1）。我们可以估计线性回归方程

其中ut是残差。如果a1的估计值在统计上显著不同于零，则可以得出结论，时间序列为ARCH（1）。如果时间序列模型具有ARCH（1）误差，则可以使用以下公式来预测周期t 1中误差的方差。

案例 检验每月通货膨胀率ARCH（1）

分析师希望检验有关CPI通胀的月度数据是否包含自回归条件异方差。分析师使用时间序列模型中的残差来估算ARCH（1）模型公式。一开始得出的结论是，如果对1984年至2013年的每月CPI通货膨胀进行建模，则AR（1）和AR（2）模型在预测通货膨胀方面的性能没有太大差异。在2007年至2013年期间，AR（1）模型显然更好。于是，分析师决定进一步探索1984年至2013年整个期间的AR（1）模型。下表显示了检验该模型中的错误是否为ARCH（1）模型的结果。

上一时期的残差平方的系数的t统计量大于4.1。因此分析师拒绝了原假设，即误差的方差不取决于先前误差的方差。计算出的检验统计数据无效，我们不应将其用于投资策略。

分析师可能得出结论——每月通货膨胀率的AR（1）模型具有ARCH误差——这可能是由于所采用的采样期（1984年至2013年）所导致的。我们曾经使用2007年到2013年的较短采样期，并得出结论：每月CPI通胀遵循AR（1）程序。而上表显示，整个样本（1984年至2013年）的通货膨胀时间序列模型的误差都具有ARCH误差。用较短的采样周期（2007年至2013年）估算的误差是否也显示ARCH？对于较短的样本时间，分析师使用每月通胀数据估算了AR（1）模型。现在，分析师进行检验以查看误差是否符合ARCH。

下表显示了结果。

在此样本中，上一时期的残差平方的系数非常小，t统计量仅为1.3713。因此，分析师未能拒绝原假设，即该回归中的错误不具有自回归条件异方差。这进一步证明了2007年至2013年的AR（1）模型非常合适。该结果再次证明，在整个1984-2013年期间，单过程AR模型不能很好地描述数据。

假设模型包含ARCH（1）错误。如果存在ARCH，则回归参数的标准误将不正确。我们将需要使用广义最小二乘或其他校正异方差性的方法来正确估计时间序列模型中参数的标准误。其次，如果存在ARCH并将其按照ARCH（1）进行建模，则可以预测误差的方差。例如，假设我们要使用估计参数预测通货膨胀误差的方差

如果一个周期的误差为0％，则下一个周期的预测误差方差为9.1666 0.2161（0）=9.1666。如果一个周期的误差为1％，则下一个周期的预测误差方差为9.1666 0.2161（12）=9.3827。

恩格尔和其他研究人员提出了ARCH（1）模型的许多特征，包括ARCH（p）和广义自回归条件异方差（GARCH）模型。在ARCH（p）模型中，当前周期中误差项的方差线性依赖于前p个周期的平方误差：

就像ARMA模型一样，GARCH模型也可能是不稳定的：它们的结果在很大程度上取决于采样周期和GARCH模型中参数的初始预计。使用GARCH模型的分析师应充分意识到这些模型的精确程度，并应检查GARCH估计值对样本变化和有关参数的初始猜测是否可靠。

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