求极限时什么情况可以直接计算（你确定你的极限计算的思路）
求极限时什么情况可以直接计算（你确定你的极限计算的思路）打开浏览器，输入网址：这个方法是借助于Wolfram公司开发的计算搜索引擎WolframAlpha来实现极限的计算，具体操作步骤与实例如下。在打开的网页中实现一元函数、数列和多重极限的计算与极限存在性的判定，该方法也适用于手机WolframAlpha APP，APP程序可以在咱号配套的QQ群文件分享里下载，也可以自行百度搜索下载！电脑数学软件Mathematica中实现函数、数列极限的计算方法、选项设置实例演示。【注】 基本运算符：Mathematica中的直接代码输入的运算符和C语言基本一致，分别为加法（ ），减法（-），乘法（*，或空格），除法（/），乘方（^，【Shift】键 【6】输入）。Mathematica中的表达式都是在半角英文状态下输入！
在高等数学、数学分析课程学习中，极限既是整个课程内容的基础，也是求解问题，构建数学模型重要的工具，当然也是课程相关内容考试的重点、难点、必考点！
那么，在探索极限计算的过程中，如何知道咱们的思路探索的方向是正确的，过程、步骤是否是正确、有效的呢？又如何检验咱们极限计算得到的结果是正确的呢？
本文介绍两个相对直观的实现方法，其描述形式与咱们日常课程中学到的描述类似，简单、直观，有效，而且还可以对含有参数的极限对参数进行讨论，对抽象函数极限的计算也能给出正确的结果，同样对于多元函数也能计算多重极限并讨论极限的存在性。
文章包含三个主题：
- 极限计算网页或手机APP版WolframAlpha
在打开的网页中实现一元函数、数列和多重极限的计算与极限存在性的判定，该方法也适用于手机WolframAlpha APP，APP程序可以在咱号配套的QQ群文件分享里下载，也可以自行百度搜索下载！
- 电脑版数学软件Mathematica
电脑数学软件Mathematica中实现函数、数列极限的计算方法、选项设置实例演示。
- 二重极限不存在判定实例演示
【注】 基本运算符：Mathematica中的直接代码输入的运算符和C语言基本一致，分别为加法（ ），减法（-），乘法（*，或空格），除法（/），乘方（^，【Shift】键 【6】输入）。Mathematica中的表达式都是在半角英文状态下输入！
一、极限计算网页或手机APP版：WolframAlpha
这个方法是借助于Wolfram公司开发的计算搜索引擎WolframAlpha来实现极限的计算，具体操作步骤与实例如下。
打开浏览器，输入网址：
http://www.wolframalpha.com
打开的WolframAlpha知识计算引擎页面就一个搜索编辑框（或手机WolframAlpha APP），如下图所示。
在搜索编辑框中直接以自然语言方式输入需要计算的极限，点击右边的等号按钮，或者直接按下回车键，执行计算，得到结果。注意，不要管语法，只要能够表达涵义，既使有个别错误都没关系，一般它都会自动纠正得到可能正确的结果。当然能够描述准确更好，尤其是层次关系要用括号描述清楚，不然容易混淆，得不到理想的结果！
例1：计算函数极限
在上图中的蓝色框住的文本编辑框中输入：
limit (sqrt(1 x) sqrt(1-x)-2)/(x^2) as x->0
按下回车，或者点编辑框右边的等号键，则自动开始计算。计算后得到不仅得到极限结果，还会显示极限式中函数的图形，在下面还给出函数带皮亚诺余项的泰勒公式。如上图所示。
例2：计算函数的单侧极限
在搜索文本编辑框中输入：
limit e^(1/(1-x)) as x->1
按下回车，或者点编辑框右边的等号键，则自动开始计算。计算后的结果如下图。不仅给出了右极限，同时在下面也给出了左极限，根据下面给出的函数图形还可以直观考察函数图形的变化性态。
例3：计算抽象函数极限
在搜索文本编辑框中输入：
lim (f(x h) - f(x) ) / h as h->0
按下回车，或者点编辑框右边的等号键，则自动开始计算。计算后的结果显示为f'(x).
例4：计算数列的极限
在搜索文本编辑框中输入：
limit (sum 1/(3k-2) 1/(3k-1)-2/(3k) from 1 to n) as n->infinity
按下回车，或者点编辑框右边的等号键，则自动开始计算。计算后的结果如下图。
这个结果比直接在数学软件里面计算显示的结果更理想！参考以上实例，只要咱们的极限式不需要设置、讨论更复杂的参数，一般都可以正确得到结果。
例5：计算二重极限
(1) 在搜索文本编辑框中输入：
limit ln(x e^y)/sqrt(x^2 y^2) as (x y)->(1 0)
按下回车，或者点编辑框右边的等号键，则自动开始计算。计算后的结果如下图，显示极限结果为ln2。
(2) 在搜索文本编辑框中输入：
limit x y/(x^2 y^2) as (x y)->(0 0)
按下回车，或者点编辑框右边的等号键，则自动开始计算。计算后的结果如下图。显示计算结果为极限不存在，极限与路径是相关的。
二、电脑版数学软件Mathematica
直接在数学软件Mathematica环境中计算与验证极限。基本命令及使用格式：一元函数的极限：
Limit[f[x] x->x0]
多重极限：
Limit[f[x1 x2 … xn] { x1 x2 … xn }->{ x10 x20 … xn0}]
注意Limit第一个字母必须大写。用于求自变量x趋于x0的函数f[x]的极限，函数表达式中的其他符号为常数，其中变化过程可以设置为固定的值x0，也可以直接输入 Infinity，正号可以省略，或-Infinity，其中Infinity也可以直接用快捷键输入为无穷大符号 ，快捷键输入方式两种，一种是【Esc】inf【Esc】，一种是“\[Infinity]”。以上计算如果x趋于正无穷大也表示数列求极限。
可以设置的选项设置主要包括三个选项，分别为
- Direction：默认求双侧极限，可以更改它的值可以取为 1或-1，其中取为 则表示自变量增大的方向，所以取左极限，可以用参数值“"FromBelow"”(注意是英文状态下的双引号括起来的参数)代替；取-1表示自变量减小的方向变化，所以计算得到右极限，可以用参数值“"FromAbove"”代替。
- Assumptions：用来设置假设选项，即如果函数表达式中包含有参数时，设定参数所满足的条件来执行极限计算。
- Analytic：以解析形式计算函数的极限，对于用抽象函数求极限。默认情况下不以解析形式计算极限，即该参数的值为False，则对于抽象函数的极限可能不会执行计算，而我们自己以传统方式计算的话是可以求极限的，因此我们可能需要将其参数值设置为True。
【注】 如果计算结果显示为Indeterminate，则表示不存在，如果计算后显示的极限式，没有极限值结果，则表示Mathematica计算不出来。毕竟软件不是万能的，对于有些极限式可能我们需要将计算式进行适当变换后才执行计算。
例1 计算以下7个极限：
在Mathematica中一次性输入如下表达式，回车换行
Limit[Sin[x]/x x->0]
Limit[(1 1/n)^n n->Infinity]
Limit[1/x x->0 Direction->-1]
Limit[1/x x->0 Direction->1]
Limit[a^x x->Infinity]
Limit[a^x x->Infinity Assumptions->a>1]
Limit[a^x x->Infinity Assumptions->0<a<1]
Limit[(f[x-3h]-f[x])/h h->0 Analytic->True]
按下电脑键盘主键盘区的【Shift】 【Enter】执行计算即可得到以上积分的结果。在Mathematica笔记本中显示更直观的输入和结果如下图。
【注】 以上输入的表达式可以直接输入到WolframAlpha知识计算引擎的搜索编辑框执行计算，得到的结果一样，当然会附带其他一些扩展性的结果。
例2 极限函数的极限
在Mathematica中输入如下表达式并执行，得到极限值为2.
Mathematica中对应的文本输入表达式为
Limit[1/Sqrt[n] Integrate[Log[1 1/Sqrt[x]] {x 1 n}] n->Infinity]
可以直接复制到Mathematica中执行得到结果。
例3：计算数列的极限
在Mathematica中输入的表达式及计算结果显示如下图：
直接计算的结果为特殊函数描述的数值，为了转换为常见函数描述的表达式并化简结果，第二次输入的后面加上了两个函数，一个是FunctionExpand，将复杂表达式尽可能展开为简单函数描述，Simplify的作用则是化简计算结果，最终得到的结果才是之前WolframAlpha直接计算的结果ln3。
以上输入在一定程度上还不够贴近咱们的教材极限描述形式，借助快捷输入方式，咱也可以让Mathematica中的极限式描述基本和教材完全一致。下面用文字描述说明最后一个极限式（如下为最终效果）描述的输入过程：
按一下【Esc】键，输入lim，再按一下【Esc】键，则输入极限符号lim，然后按下【Ctrl】键不放，再按一下【4】，在lim下方创建一个输入占位符，输入n->，按一下【Esc】键，输入inf 再按一下【Esc】键，输入无穷大符号，按一下向右的箭头键，将输入位置移动到求极限符号的右边，然后【Esc】键，输入sumt，再按一下【Esc】键，输入求和符号，用鼠标左键点击各占位符，或者按【Tab】键切换占位符位置，在下面的两个占位符分别输入k和1，在上面的占位符输入n，在右边的占位符中输入()，然后在括号中输入1，按下【Ctrl】不放，再按【/】，创建分式，1自动设置为分子，在分母中输入3k-2，按一下向右箭头，切换输入位置，输入 1，按下【Ctrl】不放，再按【/】，输入3k-1，按一下向右箭头，切换输入位置，输入-2，按下【Ctrl】不放，再按【/】，输入3k，输入完成后，按下主键盘区的【Shift】不放，按一下【Enter】，或者直接按一下小键盘区的【Enter】，执行即得到上面的结果，显示效果如上。其中第二行的%为引用上一行的计算结果，然后执行简化计算。
三、用数学软件判定二重极限存在性实例演示
下面在Mathematica中演示判定二重极限的不存方法。
例 判断以下函数当(x y)趋于原点时二重极限的存在性.
【方法一】：直接判定。输入的Mathematica表达式及执行结果如下：
第一行为定义函数，结果显示为Indeterminate，极限不存在。
【方法二】：特殊路径判定。分别选取 计算极限，Mathematica表达式及计算结果为
具有不同极限，所以极限不存在。
【方法三】：由极坐标方法。在Mathematica表达式及计算结果为
注意，求极限得加上条件选项GenerateConditions，并设置为True，这样就将参数的所有不同取值都考虑到来计算极限，否则以上极限值计算得到为0，是不完整的结果。
更多操作与示例可以参见Mathematica的Limit帮助相应的主题，欢迎Mathematica爱好者投稿交流软件使用和应用心得体会与分享使用经验与应用案例。投稿是否采用一般一周内给予回复，也可以通过邮箱或微信查询！
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