容斥知识点备考（容斥问题易错点）

容斥知识点备考（容斥问题易错点）C.13 D.14A.11 B.12其二是区分人次与人数的区别：人次指包含于某内容的所有对象数目，即问题中包含的几类人数之和；人数指去除重复数目之后的部分。这类问题初学者都可以通过画图法来计算。【例1】一个班级组织跑步比赛，共设100米、200米、400米三个项目。班级有50人，报名参加100米比赛的有27人，参加200米比赛的有25人，参加400米比赛的有21人。如果每人最多只能报名参加2项比赛，那么该班最多有多少人未报名参赛？

华图教育 黄浩

容斥问题是指运用容斥原理进行计算得一类题型：即指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。这一类问题包括两集合容斥问题和三集合容斥问题，也就是问题中具体包含有几类。

在这个过程中需要注意两方面问题：

其一是“只”字问题，当出现只时，所描述数据就不包括重复部分；

其二是区分人次与人数的区别：人次指包含于某内容的所有对象数目，即问题中包含的几类人数之和；人数指去除重复数目之后的部分。

这类问题初学者都可以通过画图法来计算。

【例1】一个班级组织跑步比赛，共设100米、200米、400米三个项目。班级有50人，报名参加100米比赛的有27人，参加200米比赛的有25人，参加400米比赛的有21人。如果每人最多只能报名参加2项比赛，那么该班最多有多少人未报名参赛？

A.11 B.12

C.13 D.14

【参考解析】本题为三集合容斥问题。如下图所示，由于最多报名2项，故没有三三重叠部分，两两重叠部分设有人，未报名有人，则可得，则，其中要求尽量多，则需尽量多，则只报一项的人数尽量少，要满足条件尽量让所有人都报两项即，也就是最多让36人都报两项共报名72项比赛，其中1人报名一项，共73项次，那么未报名人数最多为人。因此，选择C选项。

【例2】某试验室通过测评Ⅰ和Ⅱ来核定产品的等级；两项测评都不合格的为次品，仅一项测评合格的为中品，两项测评都合格的为优品。某批产品只有测评Ⅰ合格的产品数是优品数的2倍，测评Ⅰ合格和测评Ⅱ合格的产品数之比为6：5。若该批产品次品率为10% 则该批产品的优品率为：

A. 10% B. 15%

C. 20% D. 25%

【参考解析】根据比例关系“只有测评Ⅰ合格的产品数是优品数的2倍，测评Ⅰ合格和测评Ⅱ合格的产品数之比为6：5”，赋值只Ⅰ合格的产品数为4，优品数为2，则Ⅰ合格的共有6，Ⅱ合格的共有5，则可得合格产品有。已知次品率为10%，则合格产品共占90%，也就是赋值合格产品数为9对应占比90%，则优品数2对应占比为20%。因此，选择C选项。