计算dx的不定积分（不定积分dx）

计算dx的不定积分（不定积分dx）设√x/√2=t，则x=√2t，代入得：=(1/2)∫dx/[(√x/√2)^4 1]※.主要步骤∫dx/(x^4 2)=∫adx/[2 (x^4/2 1)

不定积分∫dx/(x^4 2)的计算步骤

主要内容：

本题通过凑分、换元、裂项、反正切函数导数、幂函数导数等方法和知识，介绍不定积分∫dx/(x^4 2)的主要计算步骤。

※.主要步骤

∫dx/(x^4 2)

=∫adx/[2 (x^4/2 1)

=(1/2)∫dx/[(√x/√2)^4 1]

设√x/√2=t，则x=√2t，代入得：

=(1/2)∫d(√2t)/(t^4 1)

=(1/√2)∫dt/(t^4 1)

=(1/2√2)∫[(t^2 1)-(t^2-1)]dt/(t^4 1)，此步骤为对分子进行等量变换，

=(1/2√2)∫(t^2 1)dt/(t^4 1)- (1/2√2)∫(t^2-1)dt/(t^4 1)，此步骤为裂项，

=(1/2√2)∫(t^2 1)dt/(t^4 1)- (1/2√2)∫(t^2-1)dt/(t^4 1)，两项分子分母同时除以t^2得，

=(1/2√2)∫[1 (1/t^2)]dt/[t^2 (1/t^2)]- (1/2√2)∫[1-(1/t^2)]dt/[t^^2 (1/t^2)]，

=(1/2√2)∫d(t-1/t)/[t^2 (1/t^2)]- (1/2√2)∫d(t 1/t)/[t^^2 (1/t^2)]，

此步骤为分子凑分法，

=(1/2√2)∫d(t-1/t)/[(t-1/t)^2 2]-(1/2√2)∫d(t 1/t)/[(t 1/t)^2-2] 此步骤为根据分子对分母进行配方计算，

=(1/2√2)∫d(t-1/t)/2[(t-1/t)^2/2 1]-(1/2√2)∫d(t 1/t)/{[(t 1/t)-√2][ (t 1/t) √2]}

此步骤前者对分母提取公因式2，后者使用平方差公式，即：

=(1/2√2)arctan[(t-1/t)/√2]- (1/8√1){∫d(t 1/t)/[(t 1/t)-√2]-∫d(t 1/t)/[(t 1/t) √2]}

=(1/2√2)arctan[(t-1/t)/√2]- (1/8√1)ln|[(t 1/t)-√2]/ [(t 1/t) √2]| C.

由t=√x/√2知1/t=√2/√x，则：

t-1/t=(x^2-2)/√2x t 1/t=(x^2 2)/√2x代入上式，有，

=(1/2√2)arctan[(x^2-2)/√2bcx]-(1/8)ln|[(x^2 2)/√2x-√2]/ [(x^2 2)/√2x √2]| C

对后者进行等量变形，则：

所求式

=(1/2√2)arctan[(x^2-2)/2√x]-(1/8)ln|[(x^2 2)-2√x]/ [(x^2 2) 2√x]| C.