一文带你纵览数学千年的进展（数学科学百年回顾）

一文带你纵览数学千年的进展（数学科学百年回顾）与物理学推动数学发展的同时，纯粹数学也在以惊人的方式大步前进。19世纪初法国傅里叶（J.-B.-J.Fourier 1768--1830）提出的调和分析，是众多数学分支的出发点。德国的康托尔(G.F.P.Cantor 1845--1918）从研究傅里叶级数的唯一性提出“点集”的概念，以后发展为“集合论”，成为所有抽象数学的表述工具。法国的勒贝格（H.L.Lebesgue 1875--1941） 创立了建立在可列可加测度上的积分理论，使得许多黎曼意义下不可积的函数也可以进行傅里叶展开，实现了一次积分革命。康托尔和勒贝格建立的数学理论，常常涉及一些没有导数的病态函数，没有切线的奇异曲线，以及看上去千疮百孔的怪异集合。当时的数学家难以想象勒贝格积分竟会成为20世纪工程师手中的工具。这一时期最重要的数学事件，是爱因斯坦的相对论把新时代的几何学推到了科学的最前沿。四维时空的狭义相对论，产生了闵

作者：张奠宙

来源：科学源流

1900年，在巴黎举行的国际数学家大会上，德国数学大师希尔伯特在讲演的开始就说，“揭开隐藏在未来之中的面纱，探索未来世纪的前景，谁不兴奋呢？”接着，他提出了20 世纪需要解决的23个数学问题。现在，20世纪即将过去，百年来数学面纱一层层被揭开。自然科学尤其是物理学的推动，以及电子计算机的出现，改变了人类社会的生活方式，也改变了数学本身。数学技术渗入到各行各业。希尔伯特问题多半已经有了结果。今天，数学家们又在为21世纪的数学问题进行构想。数学科学仍将一日千里地发展，在探索自然奥秘和推动社会发展中做出贡献。

一、 20世纪数学的开端（1900--1918）：庞加莱和希尔伯特

本世纪之初，法国的庞加莱是无可争辩的数学领袖。他在三体问题、微分方程的定性理论、拓扑学等领域做了大量的原创性工作，成为开掘不尽的数学宝藏。如果说庞加莱主要以自然科学的实践背景为数学研究的源泉，那么，希尔伯特则更多地从数学本身的完善上寻求进步。他的著名工作有“数论报告” 、“几何基础”、“抽象积分方程与抽象空间“。希尔伯特倡导的形式主义学派，成为20世纪的主导数学哲学。

图1 希尔伯特

这一时期最重要的数学事件，是爱因斯坦的相对论把新时代的几何学推到了科学的最前沿。四维时空的狭义相对论，产生了闵可夫斯基空间几何。弯曲时空的广义相对论，使得张量分析、黎曼几何、高维几何成为物理学革命的工具。我们生存的宇宙空间，可以用黎曼(G. F. B. Riemann 1826--1866）在1854年创立的高维流形和曲率理论来描述。人们不禁惊叹造化之工，数学之巧。

与物理学推动数学发展的同时，纯粹数学也在以惊人的方式大步前进。19世纪初法国傅里叶（J.-B.-J.Fourier 1768--1830）提出的调和分析，是众多数学分支的出发点。德国的康托尔(G.F.P.Cantor 1845--1918）从研究傅里叶级数的唯一性提出“点集”的概念，以后发展为“集合论”，成为所有抽象数学的表述工具。法国的勒贝格（H.L.Lebesgue 1875--1941） 创立了建立在可列可加测度上的积分理论，使得许多黎曼意义下不可积的函数也可以进行傅里叶展开，实现了一次积分革命。康托尔和勒贝格建立的数学理论，常常涉及一些没有导数的病态函数，没有切线的奇异曲线，以及看上去千疮百孔的怪异集合。当时的数学家难以想象勒贝格积分竟会成为20世纪工程师手中的工具。

图2 康托尔

特别在康托尔的集合论中，关于无限集合的超限数理论很难使人接受。一个典型论断是，正方形一边上的点和对角线上的点一样多！康托尔本人也陷入了自己提出的一个悖论，“ 由一切基数构成的集合S，其基数将大于S中的所有基数”。这使康托尔日夜难寐。当时德国数学界的当权人物克罗内克(L.Kronecker 1823--1891）曾对康托尔的无限观进行猛烈抨击，反对康托尔进入柏林大学。康托尔于1884 年起患精神分裂症，病情时好时坏，1918 年病逝于哈雷精神病研究所内。希尔伯特是康托尔数学业绩的积极支持者。他曾说：“没有人能把我们从康托尔所创造的天国中赶走！”

图3 罗素

1903年，英国著名哲学家、数理逻辑学家罗素（B.Russell，1872--1970）在研究集合论时发现了一个十分简单的悖论：

这触发了数学基础的大论战，世称“第三次数学危机” 。为避免罗素悖论，罗素提倡“逻辑主义”，认为数学即逻辑，只要数理逻辑没有矛盾，数学就不会有矛盾，而且是永远绝对正确。希尔伯特则提出“形式主义”，认为数学研究的对象，可以不必考虑实际意义，无非是一些对象按一套公理作形式演绎的结果。只要公理无矛盾、独立、完备，数学就永远绝对正确。直觉主义则采取保守态度，不承认“自然数全体所成的集合”，反对使用排中律，主张“数学对象的存在，必须能够构造”，因而把数学限制在很小的范围内。逻辑主义想把数学化归为逻辑的愿望未能实现，但留下了数理逻辑这门重要学科。希尔伯特的形式主义后来被奥地利数学家哥德尔（K. Gödel，1906--1978）的两个不完备定理所否定，寻求数学绝对严格基础的理想随之破灭。但是，形式主义的思想为后来的布尔巴基学派所继承和发展，对20世纪数学观念的影响极为深刻。直觉主义的思想过于保守，束缚了数学家的手脚，也没有得到广泛承认。只有“构造主义”的想法，随着电子计算机的出现，获得了新的生命力。

本世纪初，英国的分析学派非常强大。哈代(G.H.Hardy，1877--1947)和李特尔伍德（J.E.Littlewood，1885--1977）是领袖人物。他们在解析数论、单复分析、不等式、级数等“硬”分析领域中有很高建树。哈代发现并培养了印度传奇数学家拉马努詹(S.A.Ramanujan，1887--1920) 。拉马努詹未受正规教育，在不知道什么是现代意义下的严格证明的前提下， 完成了大量的数学工作。拉马努詹的笔记本上写满了大量公式，并没有详细证明。60多年之后，美国的伯恩特（B.C. Berndt)把拉马努詹笔记本加以整理，完成证明，分三册出版。该书的研究表明，除少量公式有误之外，绝大部分是正确的。拉马努詹是如何进行数学思考的？这一数学之“谜”，仍有待解开。

图4 拉马努詹

经典的数学应用工作仍在深入进行。力学、电学、光学、以及机械工程、建筑工程中的数学问题被大量研究。引人瞩目的工作是数理统计学以“生物统计学”的形式开始出现。标准差、平均差、相关等术语，在1901年皮尔逊（K.Pearson 1857--1936）创办的《生物计量学》（）等杂志上陆续使用。

二、 冷战时期的数学争雄（1945-1980）

第二次世界大战结束之后，美国和前苏联分别代表西方和东方国家集团的霸主，进入了长达几十年的冷战时期。从数学上看，战后的几十年，也是两国争雄的局面。普林斯顿高等研究院和莫斯科大学始终是世界两大数学中心。

图5 普林斯顿高等研究院

图6 莫斯科大学

50年代和60年代，是战后的恢复发展期。12年义务教育的普及，高等教育的大发展，为数学家们造就了极好的就业局面。数学家的人数大量增加，数学论文的数目呈爆炸之势，新的数学学科层出不穷。人们慨叹，在外尔和冯·诺伊曼于50年代先后去世之后，能够纵观数学全局的数学家，似乎已经不会再有了。只有1987年去世的柯尔莫哥洛夫也许是个例外。

图7 柯尔莫哥洛夫

尽管文献浩如烟海，重要的数学工作仍然十分令人注目。这里选取的当然是一些不完整的罗列：

1. 希尔伯特第五问题——每个局部欧氏群一定是李群——于1952年获得完全解决。

2. 柯尔莫哥洛夫与阿诺尔德（B. И. Apнoльд，1937—2010），以及美国的莫泽（J.K.Moser，1928—）分别于1954年、1963年完成动力系统的KAM定理，已成为三体问题、哈密顿系统研究的经典成果。

3. 美国的米尔诺（J.W.Milnor，1931—）于1956年发现，在8维空间中有一个流形，和7维空间中的单位球面同胚但不微分同胚，即所谓“米尔诺怪球”。

4. 美国的斯梅尔（S.Smale，1930—）于1960年证明广义庞加莱猜想。

5. 英国的阿蒂亚和辛格（I.M. Singer，1924—2021）于1963年将一般流形的拓扑结构和其上微分算子的核空间维数联系起来，得到深刻的阿蒂亚-辛格指标定理。

6. 美国的科恩（P.J. Cohen，1934—）于1963年证明，选择公理和ZF公理体系独立。

7. 前苏联的诺维科夫（C.Π. HOBИKOB，1938—）于1965年证明微分流形的庞特里亚金类的拓扑不变性。

8. 法国的格罗滕迪克（A. Grothendieck，1928—2014）于1966年建立格罗滕迪克群和环，并由此引人K理论。

9. 在美国罗宾逊（J. Robinson，1919-1985）工作的基础上，前苏联的马蒂塞奇（Ю. Maтиясевич，1948—）于1970年解决了希尔伯特第十问题，即丢番图方程无有限步算法。

10. 40年代由韦伊提出的韦伊猜想得到解决。格罗滕迪克首先取得重大进展，1974年其弟子、来自比利时的德利涅（P. Deligne，1944—）彻底解决。

11. 大范围微分几何成为表述规范场论的数学工具。这是陈省身和杨振宁（1922—）于1975年前后分别从数学和物理学上所得成果的统一。

12. 美国黑肯（W.R.G. Haken，1928—）1978年在伊利诺伊大学完成四色问题的电子计算机证明。

13. 在美国的布饶尔（R.D. Brauer，1901—1977）、汤普森（J.G. Thompson，1932—）和戈朗斯坦（D. Gorenstein，1923-1992）等人的努力下，有限单群分类于1980年得到完全解决。

战后数学上最大的变化是电子计算机的使用。数学由此变成了一种技术——数学技术。科学计算成为继理论构建、实验考察之后的第三种科学研究方法。军事指挥、飞机设计、原子弹爆炸、化学反应、人口计划、气象预测、卫星定位、石油勘探、企业管理，一切都可以运用数学模型在计算机上进行。数学为人类创造了巨大的财富，节约了无数的资源，这一切却很少被公众所充分了解。以数学工作获得诺贝尔经济学奖已是十分常见的事情。

图8

在这基础上，许多纯粹数学得到料想不到的应用。例如，有限域用于密码学，数论用于近似计算，纤维丛理论用于规范场，拉东变换用于CT扫描，拓扑学用于DNA分子结构，等等。同时，由于计算机科学和人工智能的需要，组合数学得到了迅猛的进展。计算复杂性形成了一门艰深的理论。寻求多项式算法成为数学家注意的焦点。1979年前苏联哈奇扬（Л. Г. Хачиян）提出线性规划的椭球算法，以及后来的卡玛卡算法都是轰动一时的新闻。起源于实际、却又大胆创新的学科相继涌现，例如，模糊数学、非标准分析、突变理论。它们创立者都认为自己的工作将是数学的一场革命，但这需要时间的检验。

总之，二战以后，数学向科学女王和科学侍女两极发展。一方面，纯粹数学继续向高、深、难的方向进军，范畴、流形、纤维丛、多复分析、代数簇、上同调、鞅、分枝等新领域不断得到开拓。数学研究的对象从低维空间到高维空间以至无限维空间，函数和方程的研究从单变量发展到多变量，已经大体完成了的线性数学走向非线性数学，决定性数学和随机现象的数学彼此融合和渗透。数学仍保持着至高无上、完全正确的华贵形象。另一方面，数学又极力为其他科学服务，为人类的生活服务，走近常人的生活，使应用数学广泛渗入到各门学科（包括社会科学）中去，科学数量化的进程可以说无孔不人，数学确已成为人们忠实的科学侍女。

三、 数学多极化时代来临（1980年至今）

进入80年代，世界的政治经济出现多元化的格局，数学也进入了多元化格局。一个大体的描述是：“美国、前苏联继续领先，西欧紧随其后，日本迎头追赶，中国和其他地区正在迅速发展。”1991年苏联解体使得原苏联地区的数学有所削弱，但其数学基础和研究实力仍然十分强劲，不可低估。

经过二次大战以后，数学家队伍有了空前的扩大。数学工作市场有饱和的迹象。纯粹数学研究仍会保持前进的态势，但要求有更高的研究水平，产生更有意义的成果。一些“无病呻吟”、“滥竽充数”的数学论文将会受到冷落，优胜劣汰的法则已经比过去更加严厉地在数学界通行。一个最激动人心的事件是费马大定理的证明。1983年，德国的法尔廷斯（G. Faltings，1954—）证明费马大定理如果有解，至多有有限个互素解。1993年6月，英国的怀尔斯（A. Wiles，1953—）在前人工作的基础上宣布费马大定理是正确的（最终证明于1994年9月完成），这是人类智慧的伟大象征，是20世纪末最高的一项数学成就。

数学家大批转向计算机科学和人工智能领域，乃是就业市场自然调整的结果。同时计算机的威力扩大和延伸了数学家的脑和手。非线性数学的发展得力于此。80年代以来，混沌理论、分维几何、孤立子解、小波分析等数学热点，没有不和计算机发生联系的。

图9

数学和物理学层面的交融，仍然是数学发展的重大源泉。1987年，英国的唐纳森（S. Donaldson，1957—）在杨-米尔斯方程的求解过程中，发现四维空间中有一种流形，具有两种不同的微分结构，大出人们的意料之外。美国物理学家威滕（E. Witten，1951—）用物理学方法推演数学问题，虽然没有严格证明，却得到了正确的数学结果。希尔伯特的形式主义数学哲学，布尔巴基的结构主义数学观，在威滕的工作面前显得无能为力，数学中经验主义是否正在复兴？只有猜想没有严格证明的“理论数学”是否允许存在，正严肃地摆在数学界的面前。

四、20世纪的中国现代数学

中国现代数学之开端可以追溯到徐光启（1562—1633）和利玛窦（R.Matteo，1552—1610）于1607年翻译出版欧几里得的《几何原本》。清末李善兰（1811-1882）曾和伟烈亚力（W. Aexander，1815-1887）于1859年译出美国数学教材《代微积拾级》，李善兰恒等式至今犹有价值。1898年京师大学堂成立，先后派遣一些学生到日本学习数学。其中有冯祖荀（1880-1943），后来长期担任北京大学数学系主任。清末到美国学习数学的有胡敦复（1886-1978）、郑桐荪（1887-1963）、秦汾（1887-1971），起过一些先驱作用。1909至1911三年中，因美国退回部分庚款而选送三批中国留学生到美国留学。以学习数学而著称的有胡明复（1891-1927），他是中国第一位数学博士（1917年于哈佛大学获得）。姜立夫（1890-1978）于1911年到美国，1918年也在哈佛获博士学位。与此同时或稍后，何鲁（1894-1973）与熊庆来（1893-1969）到欧洲研习数学。他们回国后推动中国各大学数学系的创办，奠定了中国现代数学的基础。

图10 姜立夫

30年代的清华大学数学系实力雄厚。特别是陈省身和华罗庚两位青年学者的到来，使中国数学开始走向世界。江泽涵（1902-1994）致力于北京大学数学系的发展。从日本回来的陈建功（1893-1971）和苏步青（1902-2003）建设浙江大学数学系，使之成为中国数学发展的又一基地。到了抗日战争时期，西南联合大学已拥有陈省身、华罗庚、许宝騄（1910-1970）这样具有很高声誉的数学家，和其他数学家一起，中国现代数学开始接近世界先进水平。

图11 华罗庚

1949年之后，中国数学界的规模迅速扩大，数学门类逐渐齐全，并能够为国民经济和国防事业服务，华罗庚和吴文俊（1919-2017）等大批旅外数学家回国。陈景润（1933-1996）等年轻数学家成长很快，出现了一批在现代数学研究上卓有贡献的中国数学家。1966年开始的十年动乱，使数学前进的势头锐减，以至瘫痪。80年代以来，经过恢复时期，新一代的数学家成长起来。从1986年开始，吴文俊、田刚、林芳华、张恭庆、马志明、励建书、李俊等先后应邀作国际数学家大会的45分钟报告。陈省身获沃尔夫奖，丘成桐（1949-）获菲尔兹奖，使中国数学界受到鼓舞。“21世纪的数学大国”是中国数学界的共同愿望，经过几代人的不懈努力，这一理想正在逐步变为现实。

展望未来，我们需要总结过去几百年世界数学走过的道路。纯粹数学研究中的原创性，开辟新学科新方向的意识和动力，以及在各行各业中数学意识的增强，克服国内应用数学发展的不平衡，也许是中国数学面临的严峻挑战。