素数基本性质的证明（素数总可以由某个多项式给出吗）

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问题(1)的答案是否定的。事实上，如果某个多项式f(n)在n等于某个正整数s时给出素数p，即f(s)=p，则对任意整数k，不难看出f(s kp)=f(s) p(...)可被p整除。所以，当我们假设f(n)的值总是素数时，就有f(s kp)=f(s)=p。由此表明，多项式f(x s)-f(s)有无穷多个不同的根x=kp，但这是不可能的，因为一个m次多项式最多只有m个根。

令人欣慰的是，对于一次多项式an b，如果系数a和b为互素的整数，亦即a和b的最大公因子为1，则当n取遍正整数时，{an b}中的确包含了无穷多个素数。这个非凡的定理是由高斯的学生狄利克雷(Dirichlet 1805-1859)在1837年首先证明的。

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注：本文选自《数学的100个基本问题》.

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