世界上十大最难的数学证明题（数学家为什么需要证明）

世界上十大最难的数学证明题（数学家为什么需要证明）比如，再来看数学中的一个有意思的例子：但这种推理并非无懈可击的，因为能否肯定见过宇宙中的每一只羊了吗？所以永远不能确定有没有一只黑色的羊藏在某个尚未看到的地方，所以不能确定这个结论是绝对的真理。归纳推理(Inductive Reasoning)会利用我们看到过的东西中归纳出一个一般性的结论。例如，如果你见过的所有羊都是白色的，就可能会得出结论，所有的羊都是白色的。这种形式的推理非常有用，科学家们以类似的方式，根据他们所做的观察来形成他们的理论。

作者 | 小白(遇见数学翻译组核心成员)

证明是一种逻辑论证，它可以毫无疑问地确定某件事或某句话是真实成立的。数学家是如何着手证明自己的论点的呢？他们又是为什么如此热衷于证明呢？

▲ 几何原本中有许多证明的技巧，上图是俄克喜林库斯29号莎草纸《几何原本》卷2关于命题5的证明

证明的方式有什么?

在日常生活中，当我们使用理性分析时，我们通常会使用两种形式的推理：归纳推理和演绎推理。

归纳推理(Inductive Reasoning)会利用我们看到过的东西中归纳出一个一般性的结论。

例如，如果你见过的所有羊都是白色的，就可能会得出结论，所有的羊都是白色的。

这种形式的推理非常有用，科学家们以类似的方式，根据他们所做的观察来形成他们的理论。

但这种推理并非无懈可击的，因为能否肯定见过宇宙中的每一只羊了吗？所以永远不能确定有没有一只黑色的羊藏在某个尚未看到的地方，所以不能确定这个结论是绝对的真理。

比如，再来看数学中的一个有意思的例子：

或许根据上面这些示例，能否宣称找到了某种模式，归纳出了这积分的公式了吗？先等一等，再往后算两个月看看：

积分的结果已经发生了变化，所以这样在使用归纳推理，新的证据出现时，就必须修改结论。

另一种推理被称为演绎推理(Deductive Reasoning)，它与归纳推理的证明手法截然不同。从一个正确的概括性陈述开始，然后对一个具体的案例得出结论。

例如，你知道这样的事实，所有的羊都喜欢吃草，并且知道站在面前的就是一只羊，那么你肯定也知道这只也喜欢吃草。

这种形式的推理是无懈可击的。只有当前提是错误的（错误地认为所有的羊都喜欢草），或者你的观察是错误的（正在观察的动物并不是羊），它才会出错。但如果这两件事都是正确的，而你的结论推理自你的前提，那么它在任何地方都是正确的，并且恒为真。

关于公理

演绎推理在数学中的重要性在古希腊时期就为人们所知，被誉为“几何学之父”的欧几里德提出了5个公理(公设)，他认为这些陈述显然是正确的，不需要进一步的证明。

在欧几里得的数学世界中，他从这些选定的公理出发，严谨地推导证明出更多定理、不断拓展概念，将公元前七世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果，整理在严密的逻辑系统运算之中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。

书中里面的一些定理，如勾股定理在任何地方都是正确的，这就是数学基于演绎推理的原因。证明是从你确信为真的命题中推导出要证明的命题的论据。

其中包括第 5 条公理又称为平行公设，它并不像前面四条公理那么简单明了，等价这个说法：三角形内角加起来等于 180°。这样的话，如果给你一个三角形中的两个角的大小，就可以利用一个平面中三角形内角和等于 180° 这一事实推断出第三个角的大小。

欧几里得认为任何其他关于几何的陈述，例如勾股定理，都应该通过演绎推理从5个公理中推导出来。他所作《几何原本》就是基于这种推理，也因如此，成为了有史以来最有影响力和最成功的书籍之一，在逻辑与现代科学发展进程中发挥了重要的作用。

但当然，你仍然需要非常小心地使用演绎推理，因为错误很容易溜进去。要确定结论是正确的，需要确保你的一般假设是正确的，并且您已经正确地使用了它们。

一个无效证明示例：

例如，上面的那个无效证明只使用了关于如何处理方程的基本假设，但所得结论是 。你能找出其中的问题所在吗？

除以零的错误。

我们需要证明吗?

为什么数学家坚持要证明这一切呢？

比如，在法庭审判过程里，如果证据足够多，法官就很笃定给嫌疑人敲锤定罪，宣判其罪行已经被证明是“无可辩驳的”。但冤案不是没有发生过，正义也迟来。

不过令人欣慰的是，数学也许是唯一可以绝对确定的领域，这就是为什么数学家如此重视证明的原因。此外，如果数学家不坚持证明的话，错误可能会悄悄出现，而问题很难被发现。

上面提到，欧几里德第5公理相当于说所有三角形的内角之和是 180° ——他认为平行公理是如此明显，而无需证明，人们应该自然地接受它。

然而，在他之后的许多数学家们认为他们可以做得更好，试图从欧几里得前面 4 各种公理中推导出平行公理，这样仅用 4 个公理就能建构出整个庞大的几何学体系。

数学家们为这一目标奋斗了几百年。在 19 世纪，它甚至成了一种给数学家下的魔咒，以至于匈牙利数学家鲍耶·法尔科斯(Farkas Bolyai)在挑战该问题失败后，觉得有必要严肃警告他的儿子鲍耶·亚诺什(Bolyai János)一定要远离它，别搭上自己大好的时光：

“看在上帝的份上，我恳求你放弃它。对它的恐惧丝毫不亚于感官上的激情，因为它也可能占用你所有的时间，剥夺你的健康、心灵的安宁和生活的幸福。”

▲ 椭圆几何、欧氏几何和双曲几何比较(图自维基@Cmglee作品)

鲍耶·亚诺什还在坚持尝试，毫无疑问和其他人一样，也遭受到了失败的打击。但与他人不同，他由此怀疑平行公设并非总是正确的。只有当你在平面上画三角形时，它才能起作用。而如果把它画在一个球体上，比方说画在一个橙子上，内部角度加起来就超过 180°。在试图证明 180° 这一结果的过程中，数学家(包括亚诺什)偶然发现了另一个非常奇怪的曲面，称为双曲平面，在这个曲面上，三角形的角度加起来不到 180°。

双曲平面很抽象，但它类似于一片甘蓝叶，随着你向边缘移动，它会变得越来越皱。

虽然我们在日常生活中不会遇到这种奇怪的表面，但它是非常重要的。爱因斯坦的狭义相对论就是用双曲线几何表述的。狭义相对论诞生了广义相对论，没有广义相对论，现代的卫星导航设备和具有 GPS 功能的手机都将无法工作。

数学证明还需要人类来做吗?

数学家常常引以为豪的是，他们的研究只需要一支笔和一张纸就可以了。

但近几十年来，这种情况已经开始改变：计算机进入了数学领域，并引发了许多争论。这场争论与使用计算器或计算机进行奇怪的计算无关。数学家使用这些设备让他们的研究变得更容易，就像其他人一样。但这却让那些完全依赖于计算机的证明是否可信产生了新的争议。

有两种方式可以实现计算机证明：计算机辅助证明与自动化定理证明。

在计算机辅助证明(computer assisted proofs)里，计算机被用来执行大量的步骤，这些步骤是个人不可能在有限时间内完成的。1976年，数学家凯尼斯·阿佩尔和沃夫冈·哈肯借助电子计算机首次完成四色定理的证明，这是计算机辅助证明的经典例子。证明的方法是将地图上的无限种可能情况减少为1936种状态，并由计算机对每个可能的情况进行验证。

当然，证明本身的逻辑仍然来自人类，但如果没人能够检查计算机处理过的所有计算，就不能百分之百确定证据中没有错误，所以有些数学家会认为这样的证明是无效的，仍努力寻找不借助计算机来完成证明。

近年来，计算机科学家还开发了自动化定理证明(Automated theorem proving，ATP)的计算机程序，它可以使用逻辑规则从一些基本前提推导出结果，从而证明它。到目前为止，ATP 仍然需要大量的人力投入才能正常工作，但可以想象，在未来，它们将变得更加强大。它们能否取代人类还有待观察，这是一个被激烈辩论的话题。