0.9无限循环等于1严谨的证明（有好事者做了一个投票）

0.9无限循环等于1严谨的证明（有好事者做了一个投票）是不是无穷大的势都一样呢，我们接触到的第一个无穷大是可数无穷大，自然数，整数，有理数的势都一样，都是可数无穷大，但是实数个数的势不是可数无穷大。所以，得到的教训就是，对于无穷大，说个数多少没有意义，无穷大的一半仍然是无穷大，和无穷大的势一样。要形象地理解这个命题，需要一点想象力，这让我想起那个著名的希尔伯特无穷旅店。希尔伯特无穷旅店，说的是部分和整体的势可以相等，也就是，比如，偶数的个数和自然数个数相等，常理看来，自然数包括奇数和偶数，奇数和偶数大概是一半一半的关系，即看起来奇数的个数是自然数个数的一半，不是吗，这很明显啊。但希尔伯特使用映射的概念，偶数和自然数显然可以建立一一映射的关系，这不是摆明了个数相等吗？

有好事者做了一个投票，　０.９的无限循环和１哪个大？

结果大概有１.６万人选择１比较大[微笑]，５千人选择一样大[赞]，还有几百人选择０.９的无限循环比较大[我想静静]，

我估计这几百个人是异类，大概喜欢搞笑吧[呲牙]。

正确答案是一样大，上过大学数学才会详细了解这个命题，需要有极限概念，但初中或者高中数学思维好的人，应该也能想清楚是等于，毕竟那几个初等证明的逻辑是对的。

要形象地理解这个命题，需要一点想象力，这让我想起那个著名的希尔伯特无穷旅店。

希尔伯特无穷旅店，说的是部分和整体的势可以相等，也就是，比如，偶数的个数和自然数个数相等，常理看来，自然数包括奇数和偶数，奇数和偶数大概是一半一半的关系，即看起来奇数的个数是自然数个数的一半，不是吗，这很明显啊。

但希尔伯特使用映射的概念，偶数和自然数显然可以建立一一映射的关系，这不是摆明了个数相等吗？

所以，得到的教训就是，对于无穷大，说个数多少没有意义，无穷大的一半仍然是无穷大，和无穷大的势一样。

是不是无穷大的势都一样呢，我们接触到的第一个无穷大是可数无穷大，自然数，整数，有理数的势都一样，都是可数无穷大，但是实数个数的势不是可数无穷大。

可数无穷大具有最小的势，然后就可能是实数个数的势，中间还有没有其他的势，是一个假设，答案是不知道。

实数的分类是包括有理数和无理数，现在我们知道，有理数在实数集合里论个数是微不足道的，几乎可以忽略。

也就是说，数轴上的数几乎都是无理数。

但是，有理数的个数虽然少，也是无穷大，所以就有如下命题：

任意两个有理数之间，有无穷多个有理数，也有无穷多个无理数。

任意两个无理数之间，有无穷多个有理数，也有无穷多个无理数。

当然，任意一个无理数和有理数之间也一样，有无穷多个有理数，也有无穷多个无理数。

简单来说，两个实数，构成的是一个区间，在数轴上就是一个线段，而一个具体的实数，是一个点。一个线段，无论多么短，都是由无穷多个点构成的。

回到最初的问题，０.９的无限循环和１哪个大，这下问题就被放大了，如果这是两个数，那么它就会构成区间（线段），中间必然能够找到无穷多个有理数，

所以，０.９的无限循环和１必须相等，否则玩笑就开得太大了。

所以，０.９的无限循环和１是同一个实数的两种不同的表达方式罢了。

实际上，要讨论０.９的无限循环和１是否是同一个数，最重要的还是定义，现代数学，实数大致就是使用所谓戴德金分割来定义的

19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理：确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、有限覆盖定理、致密性定理和柯西收敛准则。

所以，从实数的定义来看，因为０.９的无限循环和１之间无法定义出来另外一个数，所以它们就是同一个数，定义就是这样，所以不需要再争论了。

忽然之间有些糊涂了，不知道小学数学该怎么教了，０.９的无限循环和１是同一个有理数，１是整数，　那么０.９的无限循环也是整数？

事实上，所有无限循环小数都是有理数，所有有理数也可以写成无限循环小数的形式，整数也不例外，比如３，也可以写成２.９的无限循环，我不知道小学生面对这个２.９的无限循环，是否该把它归类成整数？

这个有趣的问题，也欢迎教小学的数学老师来回答

看来下次小学出题者要严谨一些，避开这些坑，出题者要指明，下列数的写法形式上是整数分数还是循环小数，不要扯到实质大小。

希尔伯特