特别的空间曲线（奇妙的曲线）
特别的空间曲线（奇妙的曲线）当n为分数时，要多滚几圈才能使曲线闭合。当n为无理数时，则永不闭合（理论上的说法)。现在有一种塑料制的万花曲线板，就是依上述各种情况设计的，能画出各种摆线。一些钞票、有价证券也印有复杂的此类花纹，以防伪造。摆线的渐伸线和渐屈线相似。若将凹形摆线做成下滑冰道面，则滑冰者不论从何点出发，则都花费的是同样的时间可降到谷底，所以这种曲线又叫做“等时曲线”。动圆绕定圆（在外侧或内侧）滚动，动圆上一点的轨迹称为外摆线或内摆线。当定圆半径是动圆半径的整数倍时，曲线是完整的（封闭的）。当定圆半径和动圆半径相等时，描出的是心脏线。当动圆在定圆内侧滚动，而半径为后者的n分之一时，描出的是具有n个尖点的内摆线。当n=4时，又叫星形线（图5)。当θ→ ∞时，无限扩展；当θ→-∞时，无限缩小。全都永无终止(图2)。如图3，将绕在圆上的绳线定住一点（图中铅笔所在点)，再将绳拉紧伸开，则铅笔所画出的曲线，称圆的渐伸线。
曲线，以其活泼变化的外形惹人喜爱，耐人寻味。而螺线(被誉为生命之线）具有曲率半径由小到大的有趣渐变，反复盘绕是最有韵律的形式之一。在欧洲巴罗克建筑风格时期备受青睐，事实上，它的装饰风格的巨大活力也为那些艺术增添了光彩。
1.黄金矩形序列螺形线图1是黄金矩形依次舍去所作的正方形，得到不断缩小的黄金矩形序列。图1是分别以各正方形靠“里”的一个顶点为圆心，以正方形的边长为半径，所作1/4圆弧所连成的曲线，可知是一条螺形线。
常记为
ρ表示螺线上的点到心的距离。
当θ→ ∞时，无限扩展；当θ→-∞时，无限缩小。全都永无终止(图2)。
3.圆的渐伸线如图3，将绕在圆上的绳线定住一点（图中铅笔所在点)，再将绳拉紧伸开，则铅笔所画出的曲线，称圆的渐伸线。圆的渐伸线常用于斜齿轮齿面的形状，以便有很好的齿合。可见只有数学才能这样深刻地揭示螺线的美妙。
当圆轮沿一直线滚动时，圆轮上一点的轨迹是旋轮线，或称摆线。这是一类考虑人类智力的曲线。伽利略定律指出，摆线的一个拱弧和它的底所围的面积等于母圆面积的3倍；1658年，英国建筑师兼数学家连斯，论证了摆线一拱之长等于母圆半径的8倍。我们欣赏摆线，不仅在其“秀外”，尤其在于其“慧中”（图4)。
动圆绕定圆（在外侧或内侧）滚动，动圆上一点的轨迹称为外摆线或内摆线。当定圆半径是动圆半径的整数倍时，曲线是完整的（封闭的）。当定圆半径和动圆半径相等时，描出的是心脏线。当动圆在定圆内侧滚动，而半径为后者的n分之一时，描出的是具有n个尖点的内摆线。当n=4时，又叫星形线（图5)。
当n为分数时，要多滚几圈才能使曲线闭合。当n为无理数时，则永不闭合（理论上的说法)。现在有一种塑料制的万花曲线板，就是依上述各种情况设计的，能画出各种摆线。一些钞票、有价证券也印有复杂的此类花纹，以防伪造。摆线的渐伸线和渐屈线相似。若将凹形摆线做成下滑冰道面，则滑冰者不论从何点出发，则都花费的是同样的时间可降到谷底，所以这种曲线又叫做“等时曲线”。
6.四个直纹面的交会
图6可看成是四个直纹面的交会，也可看成是平面上的渐伸线、渐屈线，或者包络。几何与图案总是紧密结缘的，其中我们又看到了摆线的“影子”（此图形可用几何画板作出，从而可观赏其动态变化的美)。
曲线是使人感到愉悦的艺术写真。在曲线研究中，现代各种科技产品的外形，如机翼、船舶、汽轮机叶片等的制造，需经过各种模拟实验找出一些离散的点描绘其大略，而一门如何将这些点连续化的数学应运而生，这便是“曲线拟合”。
