圆锥什么时候可以截出抛物线（为什么斜切圆锥可以得到一个抛物线）
圆锥什么时候可以截出抛物线（为什么斜切圆锥可以得到一个抛物线）事实上，就像直线在古代不被写作y=kx b一样，古希腊人对抛物线也有自己的定义方法都是长成下面这个样子的在很久以前，我看到过一篇文章，讲阿基米德计算抛物线面积，感觉十分诧异，笛卡尔的解析几何不是十七世纪的东西吗？古希腊人怎么能研究抛物线呢什么是抛物线相信在大多数人心中，抛物线=二次函数="y=x2“
A QUARK
扯闲篇儿
为什么斜切圆锥可以得到一个抛物线
古希腊人为什么能研究抛物线
在很久以前，我看到过一篇文章，讲阿基米德计算抛物线面积，感觉十分诧异，笛卡尔的解析几何不是十七世纪的东西吗？古希腊人怎么能研究抛物线呢
什么是抛物线
相信在大多数人心中，抛物线=二次函数="y=x2“
都是长成下面这个样子的
事实上，就像直线在古代不被写作y=kx b一样，古希腊人对抛物线也有自己的定义方法
古希腊人对抛物线的定义是：
平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线
所以古希腊人心中的抛物线是长这样的：
其中点E是焦点，BD是准线
二次函数为什么是抛物线
老规矩，既然说到了不同的定义方式，就要证明他们等价
我们在幼儿园曾经学过，二次函数的表达式为y=ax2 bx c(a≠0）
而二次函数的形状与b c的大小无关，所以无论a b c取何值，我们都可以在它的顶点建立坐标系，把它变成y=ax2(a≠0）来讨论
那么焦点和准线在哪呢
我目测了一下，觉得F(0 1/4a）和y=-1/4a看起来很顺眼
P为y=ax2上的一点，横坐标为x，纵坐标就是ax2
那么很显然
点P到y=-1/4a的距离为ax2 1/4a
点p到点F的距离为
√(ax2-1/4a)2 x2=√(ax2 1/4a)2=ax2 1/4a
因此，函数y=ax2上任意一点P到焦点和准线的距离的比值都为1
而这正好符合了古希腊人对抛物线的定义
为什么斜切圆锥可以得到一个抛物线
众所周知，抛物线是圆锥曲线的一种
圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线叫做抛物线
在开始证明之前，我们先研究研究圆锥这种东西：
（顺便适应一下我立体几何的画风）
圆锥的母线长都相等，高线与底面垂直
因此，对于下图，易得△ACD≌△ABD≌△AGD
∴∠ACD=∠AGD
如果此时在点A C D所在平面上作HI∥CD，与AC交点记为点H
在点A G D所在平面上作FE∥GD，与AG交点记为点F
∵HI∥CD，FE∥GD
∴∠EFG=∠IHC
有了这些知识，我们正式开始证明
已知一个圆锥，有一平面与其一条母线平行
求证：这个平面与圆锥面所截得的曲线是抛物线
与求椭圆时一样，作一个球体与圆锥面相切于一个圆，与平面切于一点E，再把那个圆所在的平面也作出来
在曲线上取任意一点C，过点C作圆所在平面的垂线CD，和两平面截得的直线的垂线CB。过点D作圆锥高的垂线AD与圆交点记为点A，连接AC BD CE
易得CD⊥AD，CD⊥BD，BC与截面所平行的母线平行
∵BC与截面所平行的母线平行
∴∠CBD=母线与圆所在平面的夹角
结合前面那个证明可知
∠CAD=母线与圆所在平面的夹角
∴∠CBD=∠CAD
∵CD⊥AD，CD⊥BD
∴∠ADC=90°=∠BDC
∵CD=CD
∴△ADC≌△BDC
∴AC=BC
根据切椭圆时的证明，同理可得AC=EC
∴BC=EC
∴曲线上任意一点C，到焦点E与到准线的距离相等
∴圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线叫做抛物线
证毕
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圆锥曲线系列
为什么斜切圆锥可以得到一个椭圆
完
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