数学建模 组合优化 经典问题（极具挑战的折叠最值问题）

数学建模 组合优化 经典问题（极具挑战的折叠最值问题）【解析】首先由勾股定理求得AC的长度为4，由轴对称的性质可知BC＝CB′＝3，当B′A有最小值时，即AB′ CB′有最小值，由两点之间线段最短可知当A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值．B′Amin＝AC﹣B′C＝4﹣3＝1．故答案为：1．变式1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是______ ．例1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，P是直线AB上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，B′A长度的最小值是m，B′A长度的最大值是n，则m n的值等于________ ．【分析】先判断出B′A长度的最大值和B′A长度的最小值的位置，最后简单计算即可．【解答】如图，∵点P是直

几何最值是各省市中考数学最热的模考点，种类多，变换形式多样。而折叠模型也是中考考试的热点模型，两者相结合命题，往往别具一格，令人充满困惑，让人感到畏惧，原因是题目表面感觉简单，但实质背后又充满有取舍的逻辑和一些陷阱，需要注意和对模型的原理进行分析，推理，不然求解不出来或求解错误。下面针对这类折叠最值问题常涉及到两种类型模型作介绍，可有效突破这一难点。

类型一：折痕经过一个动点型，构造辅助圆求解

1.折痕过定点;2.折叠前后线段相等即：（线段BA′长度不变），求A′C最小值

分析：1.A′的路径为圆弧，以B为圆心，AB的长度为半径，2.转化为BA′ A′C最小，利用三角形三边关系求解，3.需要注意圆弧的轨迹起始点和终点，结合实际要求去判定，4.最短时在BC边的交点上。

例1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，P是直线AB上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，B′A长度的最小值是m，B′A长度的最大值是n，则m n的值等于________ ．

【分析】先判断出B′A长度的最大值和B′A长度的最小值的位置，最后简单计算即可．

【解答】如图，∵点P是直线AB上的动点，∴△BCP沿CP所在的直线翻折得到△B'CP，点B落在以点C为圆心，BC为半径的圆上，∴CM＝CN＝BC＝6，圆外一点到圆上的点的距离最大和最小的点是圆外一点过圆心的直线和圆的交点，延长AC交圆于M，∴B′A长度的最小值是m＝AN＝AC﹣CN＝8﹣6＝2，B′A长度的最大值是n＝AM＝AC CM＝8 6＝14，∴m n＝14 2＝16；故答案为16．

变式1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是______ ．

【解析】首先由勾股定理求得AC的长度为4，由轴对称的性质可知BC＝CB′＝3，当B′A有最小值时，即AB′ CB′有最小值，由两点之间线段最短可知当A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值．B′Amin＝AC﹣B′C＝4﹣3＝1．故答案为：1．

变式2.在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，AB＝4，P是AB上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在直线翻折，得到△DCP，连接DA，则DA的最小值是 _______．

【解析】根据翻转变换的性质可知BC＝CD＝3，当DA有最小值时，即AD CD有最小值，由两点之间线段最短可知当A、D、C三点在一条直线上时，AD有最小值．所以AD＝AC﹣DC＝5﹣3＝2．故答案为：2．

变式3．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是边AD的中点，N是AB上一动点（不与A、B重合），将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A1MN，连接A1C，画出点N从A到B的过程中A1的运动轨迹，A1C的最小值为________ ．

【解析】先连接CM，过点M向CD的延长线作垂线，垂足为点H，根据折叠可知点N从A到B的过程中，A1的运动轨迹为以M为圆心，MA为半径的半圆，再根据勾股定理求得CM的长，最后根据A1C A1M≥CM，可得A1C≥CM﹣A1M＝√7﹣1，即当点A1在线段CM上时，A1C的最小值为√7﹣1．

本题主要考查了折叠问题，菱形的性质，最短距离问题以及勾股定理的运用，理解圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差是解答此题的关键．

类型二：折痕经过两条线的动点型

1.折痕经过两条线的动点；2.折叠前后线段相等。即（A′N NC为定值），求BA′的最小值.

分析：1.折叠前后AN NC的长度不变，即A′N NC长度也不变。同为定值；2.所以BA′的最小值转化为BA′ A′N NC的最小值；3.当B，A′ C三点共线时和最短，利用两点之间线段最短求解；4.即A'在BC上时最短。

例2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE EF的最小值为（ ）

A．40/3 B．15/4 C．24/5 D．6

【解析】如图所示：在AB上取点F′，使AF′＝AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．因为EF CE＝EF′ EC，推出当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE EC的值最小．

【解答】如图所示：在AB上取点F′，使AF′＝AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．在Rt△ABC中，依据勾股定理可知BA＝10．CH＝AC•BC/AB=24/5，∵EF CE＝EF′ EC，∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE EC的值最小，最小值为24/5故选：C．

变式4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC PQ的最小值是（ ）

A．2.4 B．4.8 C．4 D．5

【解析】过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ＝PM，这时PC PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABC＝1/2AB•CM＝1/2AC•BC，得出CM的值为24/5，即PC PQ的最小值为24/5 故选：B．

变式5.在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，P、Q两点分别是边AC、BC上的动点，将△PCQ沿PQ翻折，C点的对应点为C′，连接AC′，则AC′的最小值是___________ ．

【解析】当Q与B重合，折叠后C的对称点在AB上时，AC′最小，根据对称性即可求解．

由题意可知AC′≥PA﹣PC′，∵PC＝PC′，∴AC′≥PA﹣PC．当Q与B重合，折叠后C的对称点在AB上时，AC′最小．∵Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．∴由勾股定理可求得AB＝10，∴AC′≥10﹣8＝2．∴AC′的最小值为2，故答案是：2．

牛刀小试：

1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处．

（1）若CF＝2，①当CE长为多少时，使得EP∥AB；②求点P到AB距离的最小值；

（2）若点P能落在线段AB上，则求CF的最小值．

【解析】（1）①如图1，延长EP交AC于G，根据折叠的性质得到PF＝CF＝2，∠FPE＝∠C＝90°，PF＝CE，根据相似三角形的性质得到FG＝5/2，PG＝3/2，根据勾股定理即可得到即可．CE＝6；

②如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，利用△AFM∽△ABC，得到AF/AB=FM/BC，求出FM即可解决问题，点P到边AB距离的最小值是1.2；

（2）根据折叠的性质得到PF＝CF，∠FPE＝∠C＝90°，PF＝CE，当PF取最小值时，CF的值最小，推出当FP⊥AB时，PF的值最小，此时，点B与E重合，根据勾股定理列方程即可得到结论，所以CF的最小值是8/3．

学习反思：

1、在解决数学问题时，有时候题目比较复杂，问题较多。这时候我们可以把问题中的干扰条件去掉，只留下最必要的与问题相关的基本条件和基本问题，这种抽丝剥茧，去伪存真的方法也是一种模型化思维——建立问题模型。

2、建立模型、提炼模型的过程是一个漫长的过程。能够从茫茫题海中找出这些题目的共同特点，解决这些问题的通法，并总结出归纳出解决这类问题基本模型，这也是模型化思维——建立思想方法和结论模型！

3、胸中有模型，胜过百万兵！平常学习中要善于总结和学习积累数学模型，这样在做题时就可以胸有成竹，信手拈来，游刃有余！

4、模型和建模是结果和过程的关系。模型是质变的结果，建模是量变的积累。过程和结果同等重要！能否迅速识模，源于你胸中所拥有的模型数量及你对这些模型的熟练程度.