线性代数第一章行列式案例分析（秩）
线性代数第一章行列式案例分析（秩）在数学专业的词汇来表示线性变换后空间的维数 称之为矩阵的秩( Rank ) . 换句话说 列空间就是矩阵的列所张成的空间. 所以矩阵秩的另一种定义可以说是列空间的维数. 经过变换后被压缩到原点的向量集合 称为矩阵 A 的"零空间"(Null Space)或"核"(Kernel) 记为 Null(A) 或 Ker(A). 被压缩到原点 - 零维;原先的空间经过这样2x2 矩阵 A 线性变换后的空间可能会三种情况:还是平面 -仍是二维空间;被压缩为一条线 - 变成了一维;
首先让我们来做一个简短的回顾:
矩阵乘法可以理解为一个特定的线性变换 矩阵的列向量相当基向量 i: (1 0) 和 j: (0 1) 经过变换过后的到达向量.
(原谅我用鼠标进行的标注吧)
空间变换后的任何向量都可以由矩阵 A 的列向量线性表出 而这些所有可能的结果 也就是矩阵的列所张成的列空间(Column Space).
原先的空间经过这样2x2 矩阵 A 线性变换后的空间可能会三种情况:
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还是平面 -仍是二维空间;
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被压缩为一条线 - 变成了一维;
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被压缩到原点 - 零维;
在数学专业的词汇来表示线性变换后空间的维数 称之为矩阵的秩( Rank ) . 换句话说 列空间就是矩阵的列所张成的空间. 所以矩阵秩的另一种定义可以说是列空间的维数. 经过变换后被压缩到原点的向量集合 称为矩阵 A 的"零空间"(Null Space)或"核"(Kernel) 记为 Null(A) 或 Ker(A).
对照上面的三种情况 来分别来观察.
第 1 种情况: 变换后仍是平面
如果经过矩阵 A 变换后的结果是一个平面 则 rank( ) = 2 空间没有被压缩扁平化 因此可逆 称之为非奇异矩阵;
这样秩与列数相等 称之为满秩(Full Rank)矩阵.
对于满秩矩阵来说 变换后唯一落在原点的就是零向量本身 也就是 dim Ker( ) = 0;
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当变换的结果是一条直线 该矩阵是一维的 称rank(A) = 1 此时矩阵不可逆 称为奇异矩阵;
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这样非满秩矩阵 会将空间压缩到更低的一维直线上 也就是由嫩绿色直线上一系列的向量在变换后成为零向量;
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零空间的维度为 1 dim Ker(A) = 1;
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当变换的结果是压缩到原点 则该矩阵是零维的 称 rank(A) = 0;
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而零空间维度为 2 dim Ker(A) = 2;
假设 A 是 mxn 矩阵(非方阵的情况 下次会介绍) 维数定理就是:
dim Ker(A) rank(A) = n
相信如果理解透彻 2x2 矩阵的情况 那更高维的矩阵也就清楚了.
上面就是本次图解线性代数所回顾的知识点. 好了 现在让我们在下一篇的中再见!
