八卦与数学（数-易趣谈后天八卦与数学）

八卦与数学（数-易趣谈后天八卦与数学）2、三角函数所以，以上的分析是将后天八卦按照：震-巽-离-坤-兑-乾-坎-艮；东-东南-南-西南-西-西北-北-东北的方向顺时针排列的。在排列的过程中分别经过：启动-蓬勃-盛极-收势-关闭与终结-肃杀和消弭-衰极-东山再起这八个阶段。是一个从平到高再转衰进而跌至谷底，但最后又绝境重生的过程，这种从上到下再到上的趋势不禁让大家想起了某类数学关系——三角函数。后天八卦后天八卦与节气同时《说卦》中也对后天八卦中的八个卦进行了形象的描述：动万物者莫疾乎雷（震），挠万物者莫疾乎风（巽），躁万物者莫盛乎火（离），说万物者莫说乎泽（兑），润万物者莫润乎水（坎），终万物始万物者莫盛乎山（艮）。其中震表动之迅猛，巽表持续的作用，离表躁动升腾，兑表悦万物，坎表润下，艮表终始的交点，其中兑悦万物即收获之喜悦，而收获又意味着农季的完结，学途的毕业，坎润下即水性寒主静。所以这与我之前的文章《世事浮沉必有律——后天八

后天八卦及其来源在本人之前的文章《世事浮沉必有律——后天八卦的象征及意义》中有所提及，在此不再进行赘述。本篇文章主要将我发现的后天八卦与数学规律之间的关系给大家分享。

1、后天八卦中反映出来的世事节律

《说卦》中言：“帝出乎震，齐乎巽，相见乎离，致役乎坤，说言乎兑，战乎乾，劳乎坎，成言乎艮。万物出乎震，震东方也。齐乎巽，巽东南也；齐也者，言万物之絜齐也。离也者，明也，万物皆相见，南方之卦也，圣人南面而听天下，向明而治，盖取诸此也。坤也者，地也，万物皆致养焉，故曰：致役乎坤。兑，正秋也，万物之所说也，故曰：说言乎兑。战乎乾，乾西北之卦也，言阴阳相薄也。坎者水也，正北方之卦也，劳卦也，万物之所归也，故曰：劳乎坎。艮，东北之卦也。万物之所成终而成始也，故曰：成言乎艮。”

清华大学崔国文教授在讲解后天八卦时对其解释为：“帝出乎震，未来的帝王要从震卦出发去谋取天下；齐乎巽，指的是在巽卦集结军队；相见乎离指的是部队和部队相见彼此熟悉；致役乎坤，是指在坤卦劳动干活收割粮食以及准备粮草；说言乎兑，是指在兑卦就已完成对粮草的准备工作；战乎乾，则为在乾卦进行交战；劳乎坎，指的是在坎卦得胜后犒劳军队（庆功宴）；成言乎艮，指的是在艮卦建立新政权”。而且崔国文教授还说后天八卦和农业周期有着密切关系。这里其实指的是农业节气或是说地球围绕太阳公转一周对地球产生的影响与后天八卦之间的密切联系，如下图：

后天八卦

后天八卦与节气

同时《说卦》中也对后天八卦中的八个卦进行了形象的描述：动万物者莫疾乎雷（震），挠万物者莫疾乎风（巽），躁万物者莫盛乎火（离），说万物者莫说乎泽（兑），润万物者莫润乎水（坎），终万物始万物者莫盛乎山（艮）。其中震表动之迅猛，巽表持续的作用，离表躁动升腾，兑表悦万物，坎表润下，艮表终始的交点，其中兑悦万物即收获之喜悦，而收获又意味着农季的完结，学途的毕业，坎润下即水性寒主静。所以这与我之前的文章《世事浮沉必有律——后天八卦的象征及意义》对后天八卦取象意义中“震代表启动，巽代表蓬勃发展，离代表盛极，坤代表收势，兑代表关闭与终结，乾代表肃杀和消弭，坎代表衰极，艮代表百废待兴东山再起”的结论相一致。

所以，以上的分析是将后天八卦按照：震-巽-离-坤-兑-乾-坎-艮；东-东南-南-西南-西-西北-北-东北的方向顺时针排列的。在排列的过程中分别经过：启动-蓬勃-盛极-收势-关闭与终结-肃杀和消弭-衰极-东山再起这八个阶段。是一个从平到高再转衰进而跌至谷底，但最后又绝境重生的过程，这种从上到下再到上的趋势不禁让大家想起了某类数学关系——三角函数。

2、三角函数

三角函数是基本初等函数之一，是以角度/弧度制为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。三角函数是研究周期性现象的基础数学工具，常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。其中正弦函数和余弦函数表现出了高低起伏的周期规律性，而正弦函数公式是直角三角形的对边比斜边，余弦函数公式是直角三角形的临边比斜边。

常见三角函数

三角函数中的正余弦函数

在三角函数（这里指正弦函数和余弦函数）中表现出的y值随x值变化而不断起伏的规律与后天八卦中各个卦象意义随着顺时针排列后所表现出的“启动-蓬勃-盛极-收势-关闭与终结-肃杀和消弭-衰极-东山再起”的规律相似。同时三角函数也叫做圆函数，三角函数的来源与圆形有着密切关系，其中正弦函数和余弦函数中斜边为圆的半径，对边和临边分别为斜边与圆交点的弦的一半和从圆心到此弦垂直平分线之间的线段。而后天八卦也是以圆为基础将八个卦围绕在圆周。所以二者之间的在数学来源的层面上就具有明显的共通性。

单位圆与三角函数值之间的关系图

我们将后天八卦的卦按照震-巽-离-坤-兑-乾-坎-艮（东-东南-南-西南-西-西北-北-东北）的方向顺时针排列作为x轴的一个周期，其卦象中所表达的相对盛衰、阴阳和动静等的意义作为y轴，就会得出正弦函数的图像，其中每一个卦对应的x轴上的点均为最能代表此时函数特性的点（函数值或导数值此时最大最小或为0）。正意味着盛、阳、动与膨胀，负意味着衰、阴、静与收缩。

当函数图像中x=0时，函数值为0，但是变化率最快且趋势为正，象征着震-雷（启动；如雷一般劈开死寂，如电一般激发沉静）。

当x=π/4时，函数值约为0.7，变化速率较快趋势与函数本身均为正，象征着巽-风（正在蓬勃发展；风即为行动，乘风而上，步步高飞）。

当 x=2π/4时，函数值为1，此时函数值最大且为正，然而变化速率为0意味着鼎盛，象征离-火（盛极，极度升腾膨胀；如火般燃烧释放，侵掠并扩张）。

当x=3π/4时，函数值约为0.7，变化速率开始加快但为负值，意味着势力收缩，象征着坤-地（膨胀后的收势；大地承载收纳万物，收与限的力量会抑制膨胀）。

当x=4π/4时，函数值为0，变化率最快且趋势为负，象征着兑-泽（关闭与终结；池塘沼泽，淹没与深陷就像收尾、熄灭一般）。

当x=5π/4时，函数值约为-0.7，变化速率较快趋势与函数本身均为负，象征着乾-天（肃杀，不断消弭；天法刚健不可动摇，如刀斩乱麻般消杀一切）。

当x=6π/4时，函数值为-1，此时函数值最小且为负，然而变化速率为0意味着跌落至谷底，象征着坎-水（衰极，极度静止收缩；水寒冷、沉降、收缩）。

当x=7π/4时，函数值约为-0.7，变化速率开始加快但为正值，意味着颓势的反转，象征着艮-山（回转之势，百废待兴；山虽然为静石，但始于深渊，终于高天，意为颓势再起之意）。

x=8π/4又是震-雷，即进入了下一个循环。

正余弦函数与后天八卦顺时排列间的关系

如果我们将盛衰、阴阳和动静的变化快慢的大小作为y轴，那我们就可以得出余弦函数的图像（即为刚才正弦函数的导数，用来表现函数值的变化速率大小）。

注意：

这里关于坤、兑、乾的解释可能在表面上与《说卦》中言不一致，但是本文对此的解释重在意的理解。致役乎坤，表示士兵劳动用以准备粮草，准备粮草的动作需要人们勤于眼前脚下的一切，要收回一些不必要的膨胀，但是还是一种积极向上的状态，其意便是虽然积极灵动但却要适时收敛。说言乎兑，表示庆祝收获的喜悦，收获是圆满结束，意味着完结，完结便是其意。战乎乾，表示进行战争，战争中的杀伐会使盛世破碎，且是让力量衰减的最佳方式，力量衰减，衰中继续衰便是其意。

4、小结

后天八卦所言的“帝出乎震，齐乎巽，相见乎离，致役乎坤，说言乎兑，战乎乾，劳乎坎，成言乎艮“不仅是对军政、人生乃至农业节气规律变化的解释，更是一种自然万物的消长互变规律，在数理公式上与三角函数中的正余弦函数的变化规律存在紧密关系，代表着万事万物”启动-蓬勃-盛极-收势-终结-肃杀-衰极-东山再起“的变化规律。而后天八卦与三角函数之间的相通性也说明了古人对宇宙自然的观点是可以被现代科学所证实的，周易理论与数学等自然科学之间也是相互统一、殊途同归的。

圆的正余弦大小与八卦的对应

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