中考常考瓜豆模型（中考复习专题之瓜豆原理）
中考常考瓜豆模型（中考复习专题之瓜豆原理）一．轨迹解析式常考题型方法：第一步：找主动点的轨迹 ；第二步：找从动点与主动点的关系；第三步：找主动点的起点和终点；第四步：通过相似确定从动点的轨迹，第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值。图1如图1，若点O是定点，点A点B是动点，点A的运动轨迹已知道，且点OB与OA的长度比一定为b:a，且夹角固定，为n°，则B的运动轨迹与A的运动轨迹相似，且相似比为b:a且点B的运动轨迹可以看出是点A的运动轨迹绕点O顺时针旋转n°得到（注意是一组对应点与点O组成的以点O为顶点的角为n°，且与点O组成的对应线段比为b:a）
中考复习专题之瓜豆原理
初中数学有一类动态问题叫做主从联动，有的老师叫他瓜豆原理，也有的老师叫他旋转相似，我感觉这类问题在解答的时候需要有轨迹思想，就是先要明确主动点的轨迹，然后要搞清楚主动点和从动点的关系，进而确定从动点的轨迹来解决问题，但在解答问题时，要符合解不超纲的原则，所以最后解决问题还是用到了旋转相似的知识，也就是动态手拉手模型。
涉及的知识和方法：
知识：①相似；②三角形的两边之和大于第三边；③点到直线之间的距离垂线段最短；④点到圆上点共线有最值。
方法：第一步：找主动点的轨迹 ；第二步：找从动点与主动点的关系；第三步：找主动点的起点和终点；第四步：通过相似确定从动点的轨迹，第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值。
图1
如图1，若点O是定点，点A点B是动点，点A的运动轨迹已知道，且点OB与OA的长度比一定为b:a，且夹角固定，为n°，则B的运动轨迹与A的运动轨迹相似，且相似比为b:a且点B的运动轨迹可以看出是点A的运动轨迹绕点O顺时针旋转n°得到（注意是一组对应点与点O组成的以点O为顶点的角为n°，且与点O组成的对应线段比为b:a）
常考题型
一．轨迹解析式
例题：如图 △ABO为等腰直角三角形 A(−4 0)，直角顶点B在第二象限。点C在y轴上移动，以BC为斜边作等腰直角△BCD，我们发现直角顶点D点随着C点的移动也在一条直线上移动，这条直线的函数表达式是___.
上题图
分析：
由于题目已明确点D 的轨迹是一条直线，所以我们可以采用特殊值法来考虑，选取两个特殊位置的点，确定相应的点D的坐标即可。
答案图
当BC与x轴平行时，过B作BE⊥x轴，过D作DF⊥x轴，交BC于点G，如图1所示，
∵等腰直角△ABO的O点是坐标原点 A的坐标是(−4 0)，
∴AO=4，
∴BC=BE=AE=EO=GF=0.5OA=2 OF=DG=BG=CG=0.5BC=1，DF=DG GF=3，
∴D坐标为(−1 3)；
当C与原点O重合时，D在y轴上，
此时OD=BE=2 即D(0 2)，
设所求直线解析式为y=kx b(k≠0)，
将两点坐标代入得
解得：k=−1
b=2.
则这条直线解析式为y=−x 2.
故答案为：y=−x 2.
反思：为何点D 的轨迹是一条直线呢？能用瓜豆原理来解释吗？
定点点B，动点C D，且满足BC:DB等于一个定值，为根号2
且∠CBD永远为45°。已知C点的运动轨迹为直线y轴。所以：
主动点为点C，被动点为点D 主动点的轨迹是一条直线所以被动点的轨迹也是一条直线。
练习题（淄博中考真题）：如图 在直角坐标系中 点A的坐标是(0 3) 点C是x轴上的一个动点 点C在x轴上移动时 始终保持△ACP是等边三角形。当点C移动到点O时 得到等边三角形AOB(此时点P与点B重合).
(1)点C在移动的过程中 当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时(如图) 求证：△AOC≌△ABP；由此你发现什么结论?
(2)求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式。
上题图
答案
二：求经过的路径长
例题：已知：如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿边AB−向中点B运动，以DE为边作正方形DEFG. 求在点E的运动过程中，对应的点F的运动路径的长。
上题图
分析：定点点D，动点E F，且满足DF:DE等于一个定值，为
根号2，且∠EDF永远为45°。已知E点的运动轨迹为线段AB。所以：
主动点为点E，被动点为点F 主动点的轨迹是一条线段AB所以被动点的轨迹也是一条线段且长度为AB的根号2倍
答案图
解答：
当点E在与点A重合时，点F在点B处，当点E与B点重合时，点F的位置如上图所示 所以点F的运动的路径为BF；
可求的BF=2倍的根号2
(此处容易求出，过程已省)
练习：在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出发，沿边DC以1cm/s的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿边CB以1cm/s的速度向点B运动，当点E达到点C时，两点同时停止运动，连接AE、DF交于点P，设点E. F运动时间为t秒。回答下列问题：
(1)如图1 当t为多少时 EF的长等于45√cm?
(2)如图2，在点E. F运动过程中，
①求证：点A. B. F. P在同一个圆(⊙O)上；
②是否存在这样的t值，使得问题①中的⊙O与正方形ABCD的一边相切?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
③请直接写出问题①中，圆心O的运动的路径长为___.
上题图
答案图1
答案图2
三．求最值问题
例题1如图 在平面直角坐标系中 已知点A(4 0) B为y轴正半轴上一动点 连接AB 以AB为一边下作等边△ABC 连接OC 则OC的最小值为 ____ .
上题图
分析：定点点A，动点B C，且满足AB:AC等于一个定值，为1，且∠BAC永远为60°。已知B点的运动轨迹为y轴。所以：
主动点为点B，被动点为点C 主动点的轨迹是一条直线。所以被动点的轨迹也是一直线所以我们可以采用特殊值法来考虑，选取两个特殊位置的点B，确定相应的点C的坐标即可求出点C的运动轨迹，在求最小值。
答案1
答案2
例题2在Rt△ABC中 ∠ACB=90∘，AC=8，BC=6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为___.
上题图
分析：定点点B，动点D M，且满足BD:BM等于一个定值，为2，且∠DBM永远为0°。已知D点的运动轨迹为以A为圆心半径为4的圆。所以：
主动点为点D，被动点为点M 所以被动点的轨迹也是一个圆且半径为2，接下来找圆心N，BA:BN=2，且∠ABN=0°，及A B N三点共线，所以N点在AB的中点这个位置
如图
CN=0.5AB=5
当C N M三点共线时，存在最值，最大值为7，最小值为3
请同学们思考还有其他方法吗？
答案
练习题
1. 已知AB=3，AC=2，∠CBD=30°，∠DCB=90° 则AD 的取值范围是多少？
2.如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（2 3）为圆心，P是半径为2的圆上的任意动点，以OP为直角边作等腰直角三角形OPQ，且点Q在第二象限内，求AQ的最小值及最大值
上题图
