三角函数万能公式在必修几（初一到高三年级所有）

三倍角公式推导

sin3a

=sin(2a a)

=sin2acosa cos2asina

辅助角公式

Asinα Bcosα=(A^2 B^2)^(1/2)sin(α t)，其中

sint=B/(A^2 B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2 B^2)^(1/2)

tant=B/A

Asinα Bcosα=(A^2 B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B

降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1 cos(2α))/2=covers(2α)/2

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1 cos(2α))

推导公式

tanα cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1 cos2α=2cos^2α

1-cos2α=2sin^2α

1 sinα=(sinα/2 cosα/2)^2

=2sina(1-sin²a) (1-2sin²a)sina

=3sina-4sin³a

cos3a

=cos(2a a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa

=4cos³a-3cosa

sin3a=3sina-4sin³a

=4sina(3/4-sin²a)

=4sina[(√3/2)²-sin²a]

=4sina(sin²60°-sin²a)

=4sina(sin60° sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60 a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]

=4sinasin(60° a)sin(60°-a)

cos3a=4cos³a-3cosa

=4cosa(cos²a-3/4)

=4cosa[cos²a-(√3/2)²]

=4cosa(cos²a-cos²30°)

=4cosa(cosa cos30°)(cosa-cos30°)

=4cosa*2cos[(a 30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a 30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

=-4cosasin(a 30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90° (60° a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60° a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60° a)

上述两式相比可得

tan3a=tanatan(60°-a)tan(60° a)

半角公式

tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1 cosA);

cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1 cosA)/sinA.

sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos^2(a/2)=(1 cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1 cos(a))

三角和

sin(α β γ)=sinα·cosβ·cosγ cosα·sinβ·cosγ cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α β γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α β γ)=(tanα tanβ tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

两角和差

cos(α β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α β)=(tanα tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1 tanα·tanβ)

和差化积

sinθ sinφ = 2 sin[(θ φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ = 2 cos[(θ φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

cosθ cosφ = 2 cos[(θ φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ = -2 sin[(θ φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

tanA tanB=sin(A B)/cosAcosB=tan(A B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1 tanAtanB)

积化和差

sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α β)] /2

cosαcosβ = [cos(α β) cos(α-β)]/2

sinαcosβ = [sin(α β) sin(α-β)]/2

cosαsinβ = [sin(α β)-sin(α-β)]/2

诱导公式

sin(-α) = -sinα

cos(-α) = cosα

tan (—a)=-tanα

sin(π/2-α) = cosα

cos(π/2-α) = sinα

sin(π/2 α) = cosα

cos(π/2 α) = -sinα

sin(π-α) = sinα

cos(π-α) = -cosα

sin(π α) = -sinα

cos(π α) = -cosα

tanA= sinA/cosA

tan（π/2＋α）＝－cotα

tan（π/2－α）＝cotα

tan（π－α）＝－tanα

tan（π＋α）＝tanα

诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限

万能公式

sinα=2tan(α/2）/［1 tan＾(α/2)］

cosα=［1-tan＾(α/2)］/1 tan＾(α/2)］

tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］

其它公式

(1)(sinα)^2 (cosα)^2=1

(2)1 (tanα)^2=(secα)^2

(3)1 (cotα)^2=(cscα)^2

证明下面两式 只需将一式 左右同除(sinα)^2 第二个除(cosα)^2即可

(4)对于任意非直角三角形 总有

tanA tanB tanC=tanAtanBtanC

证:

A B=π-C

tan(A B)=tan(π-C)

(tanA tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1 tanπtanC)

整理可得

tanA tanB tanC=tanAtanBtanC

得证

同样可以得证 当x y z=nπ(n∈Z)时 该关系式也成立

由tanA tanB tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

(5)cotAcotB cotAcotC cotBcotC=1

(6)cot(A/2) cot(B/2) cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

(7)(cosA）^2 (cosB）^2 (cosC）^2=1-2cosAcosBcosC

(8)（sinA）^2 （sinB）^2 （sinC）^2=2 2cosAcosBcosC

(9)sinα sin(α 2π/n) sin(α 2π*2/n) sin(α 2π*3/n) …… sin[α 2π*(n-1)/n]=0

cosα cos(α 2π/n) cos(α 2π*2/n) cos(α 2π*3/n) …… cos[α 2π*(n-1)/n]=0 以及

sin^2(α) sin^2(α-2π/3) sin^2(α 2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A B) tanA tanB-tan(A B)=0

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